Частичная геометрия

Пусть имеется структура инцидентности , состоящая из точек , прямых и флагов . Говорят, что точка инцидентна прямой , если . Структура называется конечной частичной геометрией, если существуют целые числа , такие, что:

  • Для любой пары различных точек и существует максимум одна прямая, инцидентная обеим точкам.
  • Каждая прямая инцидентна точкам.
  • Каждая точка инцидентна прямым.
  • Если точка и прямая не инцидентны, существует в точности пар , таких, что инцидентна , а инцидентна .

Частичная геометрия с этими параметрами обозначается .

Свойства

  • Число точек задаётся формулой , а число прямых — формулой .
  • Точечный граф[1] структуры является сильно регулярным графом: .
  • Частичные геометрии двойственны — двойственной структурой для является просто структура .

Частные случаи

Обобщения

Частично линейное пространство порядка называется получастичной геометрией, если существуют целые числа , такие, что:

  • Если точка и прямая не инцидентны, существует либо , либо в точности пар , таких, что инцидентна и инцидентна .
  • Любая пара неколлинеарных точек имеет в точности общих соседей.

Получастичная геометрия является частичной геометрией тогда и только тогда, когда .

Легко показать, что граф коллинеарности[1] такой геометрии строго регулярен с параметрами .

Хороший пример такой геометрии получается, если взять аффинные точки и только те прямые, которые пересекают плоскость на бесконечности в точке фиксированной подплоскости Бэра. Геометрия имеет параметры .

Примечания

  1. Если дана частичная геометрия P, в которой любые две точки определяют максимум одну прямую, графом коллинеарности или точечным графом геометрии P называется граф, вершинами которого являются точки P, а две вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда они определяют прямую в P.

Литература

  • Brouwer A.E., van Lint J.H. Strongly regular graphs and partial geometries // Enumeration and Design / Jackson D.M., Vanstone S.A.. — Toronto: Academic Press, 1984. — С. 85–122.
  • Bose R. C. Strongly regular graphs, partial geometries and partially balanced designs // Pacific J. Math. — 1963. Т. 13. С. 389–419.
  • De Clerck F., Van Maldeghem H. Some classes of rank 2 geometries // Handbook of Incidence Geometry. — Amsterdam: North-Holland, 1995. — С. 433–475.
  • Thas J.A. Partial Geometries // Handbook of Combinatorial Designs / Colbourn Charles J., Dinitz Jeffrey H.. — 2nd. — Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, 2007. — С. 557–561. — ISBN 1-58488-506-8.
  • Debroey I., Thas J. A. On semipartial geometries // Journal of Combinatorial Theory Ser. A. — 1978. Т. 25. С. 242–250.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.