Малый звёздчатый додекаэдр
Малый звёздчатый додекаэдр[1][2][3] — тело Кеплера — Пуансо, с символом Шлефли {5/2,5}. Многограннику дал имя Артур Кэли. Многогранник является одним из четырёх невыпуклых правильных многогранников. Он состоит из 12 граней в виде пентаграмм с пятью пентаграммами, сходящимися в каждой вершине.
| Малый звёздчатый додекаэдр | |
|---|---|
 | |
| Тип | тело Кеплера — Пуансо |
| Звёздчатая форма | Правильного додекаэдра |
| Элементы | F = 12, E = 30, V = 12 |
| Характеристика Эйлера | = -6 |
| Грани по типам | 12{5/2} |
| Символ Шлефли | {5/2,5} |
| Символ Витхоффа | 5 | 25/2 |
| Диаграмма Коксетера |      |
| Группа симметрии | Ih, H3, [5,3], (*532) |
| Обозначения | U34,C43, W20 |
| Свойства | правильный невыпуклый |
 (5/2)5 (Вершинная фигура) | 
|
Он имеет то же самое расположение вершин, что и выпуклый правильный икосаэдр. Кроме того, у него то же самое расположение рёбер, что и у большого икосаэдра.
Он считается первой звёздчатой формой додекаэдра.
Если рассматривать грани в виде пентаграммы как 5 отдельных треугольных граней, он имеет ту же топологию поверхности, что и пентакисдодекаэдр, но с существенно более острыми равнобедренными треугольными гранями с такой высотой пятиугольных пирамид, что пять треугольников становятся копланарными (лежащими в одной плоскости).
Рисунки
| Прозрачная модель | Собранные вручную модели | |
|---|---|---|
 (см. также : в движении) |
 |
 |
| Сферическая мозаика | Звёздчатая форма | Развёртка |
 Этот многогранник представляет также сферическую мозаику с плотностью 3. (Одна сферическая грань в виде пентаграммы прочерчена синей линией и заполнена жёлтым) |
 Его можно построить как первую из трёх звёздчатых форм додекаэдра и его номер в списке моделей Веннинджера [W20]. |
 × 12Малый звёздчатый додекаэдр можно построить из бумаги или картона путём соединения двенадцати пятиугольных равнобочных пирамид таким же образом, как располагаются пятиугольники в правильном додекаэдре. |
В искусстве
- Его также можно видеть в мозаике пола в соборе Святого Марка в Венеции, автор Паоло Уччелло, около 1430.
- Он является центральной фигурой в двух литографиях Эшера — Контраст (Порядок и хаос) (1950) и Гравитация (1952).
Связанные многогранники
Выпуклая оболочка многогранника является икосаэдром. Он также имеет общие рёбра с большим икосаэдром.
Этот многогранник является усечением большого додекаэдра — усечённый малый звёздчатый додекаэдр выглядит как додекаэдр, но имеет не 12, а 24 грани — 12 пятиугольников, полученных от усечения вершин, и 12 перекрывающих их пятиугольников (полученных от усечения пентаграм).
| Название | Малый звёздчатый додекаэдр | Усечённый малый звёздчатый додекаэдр | Додекододекаэдр | Усечённый большой додекаэдр |
Большой додекаэдр |
|---|---|---|---|---|---|
| Диаграмма Коксетера |
|
|
|
|
|
| Рисунок | |
 |
 |
 |
|
См. также
- Соединение малого звёздчатого додекаэдра и большого додекаэдра
Примечания
- Энциклопедия элементарной математики, том IV, с. 443-444.
- Люстерник, 1956, с. 177-180.
- Веннинджер, 1974, с. 45, 48.
Литература
- М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
- Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: ГИТТЛ, 1956.
- Александров П.С., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я. Энциклопедия элементарной математики. — ГИФМЛ, 1963. — Т. IV.
- H. S. M. Coxeter, Ду Вал, Патрик, H. T. Flather, J. F. Petrie. The Fifty-nine Icosahedra. — University of Toronto studies, 1938. — (mathematical series 6: 1–26.).
- H. S. M. Coxeter. The Fifty-nine Icosahedra. — New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1938. — ISBN 0-387-90770-X. Third edition (1999) Tarquin ISBN 978-1-899618-32-3
Ссылки
- Eric W. Weisstein Small Stellated Dodecahedron (Uniform polyhedron) на MathWorld
- Weisstein, Eric W. DodecahedronStellations (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Uniform polyhedra and duals
- Bronze sculpture of small stellated dodecahedron
