Тело Штейнмеца
Тело Штейнмеца — это тело, полученное пересечением двух или трёх цилиндров одинакового радиуса, перпендикулярных друг другу. Каждая кривая, образованная пересечением цилиндров, является эллипсом.
![](../I/Steinmetz-solid.svg.png.webp)
Пересечение двух цилиндров называется бицилиндром. Топологически бицилиндр эквивалентен квадратному осоэдру. Пересечение трёх цилиндров называется трицилиндром. Половинка бицилиндра называется сводом[1], и купольный свод[2] в архитектуре имеет эту форму.
Тела Штейнмеца названы именем математика Чарлза Протеуса Штейнмеца[3], решившего задачу нахождения объёма пересечения. Однако, эта задача была решена задолго до него Архимедом в древней Греции[4][5], Цзу Чунчжи в древнем Китае[6] и Пьеро делла Франческа во времена раннего итальянского Ренессанса[4].
![](../I/Bicylinder_Steinmetz_solid.gif)
"Бицилиндр"
![](../I/Steinmetz-cc.svg.png.webp)
![](../I/Steinmetz-cc2-ag.svg.png.webp)
Бицилиндр, образованный двумя цилиндрами с радиусами , имеет объём: , и площадь поверхности [1][7].
Верхняя половина бицилиндра является квадратным вариантом сомкнутого свода, куполовидного тела, опирающегося на выпуклый многоугольник, горизонтальные сечения которого являются уменьшенными копиями основания. Имеют место аналогичные формулы вычисления объёма и площади поверхности сомкнутого свода как соответствующих величин (с некоторыми рациональными коэффициентами) призмы с тем же основанием[8].
Получение формулы объёма
Для получения формулы объёма удобно использовать общую идею вычисления объёма сферы — суммирование тонких цилиндрических слоёв. В нашем случае слоями будут квадратные параллелепипеды (см. рисунок). Тогда получим:
- .
Известно, объёмы вписанного в полусферу конуса (с высотой полусферы и опирающегося на основание полусферы), полусферы и описанного вокруг сферы цилиндра (с высотой полусферы) относятся как 1: 2: 3. Для половины бицилиндра верны аналогичные утверждения:
- Отношения объёмов вписанной квадратной пирамиды (), половины бицилиндра () и описанного прямоугольного параллелепипеда () равны 1: 2: 3.
Аналитический вывод
Рассмотрим формулы цилиндров:
и
Объём задаётся формулой:
С пределами интегрирования:
Подстановкой получим:
Доказательство формулы площади
Рассматриваемая поверхность состоит из двух красных и двух синих цилиндрических двуугольников. Один красный двуугольник делится пополам y-z-плоскостью и разворачивается на плоскости так, что половина окружности (пересечение с плоскостью y-z) разворачивается в положительную -ось, а развёрнутый биугол ограничен сверху дугой . Следовательно, площадь этой развёрнутой фигуры (половины двуугольника) равна:
![](../I/Klostergew.svg.png.webp)
а площадь полной поверхности равна:
- .
Альтернативное доказательство формулы объёма
Вывод объёма бицилиндра (белого) можно провести путём упаковки в куб (красный). Пересечение плоскости (параллельной осям цилиндра) и бицилиндра образует квадрат, а пересечение с кубом образует больший квадрат. Разница между площадями этих двух квадратов та же, что и у 4 маленьких квадратов (синих). При движении плоскости через тело эти синие квадраты образуют квадратные пирамиды с равнобедренными гранями по углам куба. Пирамиды имеют вершины в серединах четырёх рёбер куба. Продвижение плоскости через весь бицилиндр обрисует 8 пирамид.
- Метод Цзу Чунчжи (подобен методу неделимых) для вычисления объёма сферы включает вычисление объёма бицилиндра.
- Связь площади сечения поверхности бицилиндра с сечением куба
Объём куба (красный) минус объём восьми пирамид (синие) равен объёму бицилиндра (белый). Объём 8 пирамид равен , и мы можем теперь вычислить объём бицилиндра
Трицилиндр
![](../I/Steinmetz-ccc.svg.png.webp)
Пересечение трёх цилиндров с перпендикулярными пересекающимися осями образует поверхность тела с вершинами, в каждой из которых сходятся 3 ребра, и вершинами, в каждой из которых сходятся 4 ребра. Ключевым фактом для определения объёма и площади поверхности является наблюдение, что трицилиндр можно собрать из куба, вершины которого совпадают с вершинами трицилиндра, в которых сходятся 3 ребра (см. рисунок), и 6 криволинейных пирамид (треугольники являются частями поверхностей цилиндров). Объём и площадь поверхности криволинейных треугольников можно вычислить аналогично сделанному выше для бицилиндра[1][7].
Объём трицилиндра равен:
А площадь поверхности равна:
Пересечение большего числа цилиндров
Для четырёх цилиндров, оси которых соответствуют высотам тетраэдра, объём равен[1][7]:
Для шести цилиндров, оси которых параллельны диагоналям граней куба, объём равен[1][7]:
См. также
- Ноготь
Примечания
- Steinmetz Solid (англ.) ?. MathWorld..
- Купольный свод – это вариант сомкнутого свода. Сомкнутый свод имеет в основании прямоугольник, купольный – квадрат.
- Eves, 1981, с. 111.
- Peterson, 1997, с. 33–40.
- Hogendijk, 2002, с. 199–203.
- Swetz, 1995, с. 142–145.
- Moore, 1974, с. 181–185.
- Apostol, Mnatsakanian, 2006, с. 521–540.
Литература
- Howard Eves. Slicing it thin // The mathematical Gardner, Wadsworth International. — 1981. — С. 111.
- Jan Hogendijk. The surface area of the bicylinder and Archimedes' Method // Historia Mathematica. — 2002. — Т. 29, вып. 2. — С. 199–203. — doi:10.1006/hmat.2002.2349.
- Frank J. Swetz. The volume of a sphere: A Chinese derivation // The Mathematics Teacher. — 1995. — Февраль (т. 88, вып. 2). — С. 142–145. — .
- Mark A. Peterson. The geometry of Piero della Francesca // The Mathematical Intelligencer. — 1997. — Т. 19, вып. 3. — С. 33–40. — doi:10.1007/BF03025346.
- Moore, M. Symmetrical intersections of right circular cylinders // The Mathematical Gazette. — 1974. — Т. 58, вып. 405. — С. 181–185. — doi:10.2307/3615957. — .
- Tom M. Apostol, Mamikon A. Mnatsakanian. Solids circumscribing spheres // American Mathematical Monthly. — 2006. — Т. 113, вып. 6. — С. 521–540. — doi:10.2307/27641977. — .