Принцип непрерывности

Истоки этого принципа в философии могут быть найдены в отрывках Гераклита, который уподоблял движение времени реке с постоянно сменяющими друг друга водами. В несколько более развитой формулировке: «всё, что верно для конечного, верно и для бесконечного», этот принцип сформулировали Николай Кузанский и Иоганн Кеплер[2]. В такой формулировке, с современной точки зрения, этот закон ошибочен — например, утверждение «целое больше части» верно для конечных множеств и неверно для бесконечных, если мерой величины множества принять его мощность («парадокс Галилея»). Кеплер использовал закон непрерывности, чтобы вычислить площадь круга; для этого он представил круг как многоугольник с бесконечным числом сторон бесконечно малой длины.

В новое время этот принцип разрабатывался Лейбницем, который считал данный принцип универсальным, выполняющимся в математике, физике и метафизике[3]. Характерные формулировки Лейбница[1]:

Я полагаю, что нет ни одной части материи, которая была бы — не скажу, только неделимой, но даже не разделённой актуально и, следовательно, любая мельчайшая частица материи должна рассматриваться как мир, наполненный бесчисленным количеством разнообразных созданий.

Ничто не происходит сразу, и одно из моих основных и достоверных положений – это то, что природа никогда не делает скачков… Значение этого закона в физике очень велико: в силу этого закона всякий переход от малого к большому и наоборот совершается через промежуточные величины.

Лейбниц использовал данный принцип для обоснования возможности арифметических операций с бесконечно малыми величинами и надеялся с его помощью обосновать математический анализ..

Гаспар Монж в монографии «Начертательная геометрия» (1799) дал свою формулировку[4]:

Всякое свойство фигуры, выражающее отношения положения и оправдывающееся в бесчисленном множестве непрерывно связанных между собой случаев, может быть распространено на все фигуры одного и того же рода, хотя бы оно допускало доказательство только при предположении, что построения, осуществимые не иначе как в известных пределах, могут быть произведены на самом деле. Такое свойство имеет место даже в тех случаях, когда вследствие полного исчезновения некоторых необходимых для доказательства промежуточных величин предполагаемые построения не могут быть произведены в действительности.

Близкий по идее закон непрерывности, касающийся чисел пересечения в геометрии, был развит Жаном-Виктором Понселе в его «Трактате о проективных свойствах фигур» (Traité des propriétés projectives des figure)[5][6].

Принцип непрерывности Кантора, называемый также «леммой о вложенных отрезках», доказывает (или постулирует) непрерывность множества действительных чисел.

В комплексном анализе имеют место теоремы об аналитическом продолжении. Рассмотрим две непересекающиеся области ${\displaystyle G_{1}}$ и ${\displaystyle G_{2}}$ и аналитические в этих областях функции ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$. Далее, пусть ${\displaystyle \Gamma \subset \partial G_{1}\cap \partial G_{2}}$ — некоторая жорданова кривая, обладающая тем свойством, что ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$ непрерывно продолжаются на неё и на ${\displaystyle \Gamma }$ выполняется ${\displaystyle f_{1}\equiv f_{2}}$. Тогда функция ${\displaystyle F}$, определяемая следующим соотношением

${\displaystyle F(z)=\left\{{\begin{matrix}f_{1}(z)&z\in G_{1}\\f_{2}(z)&z\in G_{2}\\f_{1}(z)=f_{2}(z)\quad &z\in \Gamma \end{matrix}}\right.}$

будет аналитической в ${\displaystyle G_{1}\cup \Gamma \cup G_{2}}$.

Принцип переноса обеспечивает математическую реализацию закона непрерывности в системе гипервещественных чисел.

Принцип непрерывности в физико-химическом анализе утверждает, что если в системе не образуются новые фазы или не исчезают существующие, то при непрерывном изменении параметров системы свойства отдельных фаз и свойства системы в целом изменяются непрерывно[7].

Принцип непрерывности в теории катушек индуктивности: запас энергии магнитного поля в катушке, и ток индуктивности не могут изменяться скачком (см. переходные процессы в электрических цепях и потокосцепление).

В геотектонике принцип непрерывности осадочных слоёв утверждает, что осадочный слой изначально имеет непрерывное распространение, и лишь позднее может быть расчленён под воздействием различных геологических сил.

«Между растениями и животными, между минералами и растениями существуют промежуточные формы, которые науке ещё предстоит открыть: в лестнице природных существ нет пропущенных ступеней»[3]. Шотландский теолог и натуралист Генри Друммонд в своём трактате «Естественный закон в духовном мире» (Natural law in the spiritual world), переведённом на большинство языков мира, доказывал, что научный принцип непрерывности простирается от физического мира в духовный.

• Гайденко П. П. Понятие времени и проблема континуума: к истории вопроса // Науковедение. — 2001. — № 2. — С. 119—147.
• Лейбниц / (Гайденко П. П.) // Большая российская энциклопедия [Электронный ресурс]. — 2004.

• Лейбниц. Два отрывка о принципе непрерывности
• Общие принципы философии Лейбница