Телескопический признак
Телескопический признак (Признак сгущения Коши) — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Огюстеном Коши.
Формулировка
|
1. По условиям теоремы, последовательность членов является монотонно убывающей, т.е. любой член последовательности должен быть не меньше каждого последующего, а значит сумма членов, начиная с , не превосходит :
Сгруппируем члены ряда и, используя это свойство убывающей последовательности, получим:
То есть, если ряд сходится, то согласно признаку сравнения ряд тем более сходится.
2. Аналогично:
То есть если ряд расходится, то согласно признаку сравнения ряд тем более расходится.
Обобщение
Оскар Шлёмильх сформулировал следующее обобщение[1] телескопического признака.
|
Например, если рассматривать последовательность , которая удовлетворяет требованиям теоремы при произвольном фиксированном , то согласно указанной теореме ряд сходится или расходится одновременно с рядом , а так как умножение ряда на ненулевую константу не влияет на его сходимость, то исходный ряд сходится или расходится одновременно с рядом при любой выбранной константе .
Данную теорему иногда называют признаком сгущения Шлёмильха (не следует путать с признаком Шлёмильха).
Примечания
- Bonar, Khoury, 2006, теорема 2.4 с доказательством.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Cauchy Condensation Test (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- D. D. Bonar and M. Khoury, Jr. More Sophisticated Techniques // Real Infinite Series. — Washington DC: Mathematical Association of America, 2006. — С. 43-45. — 264 с. — ISBN 0-88385-745-6.