Признак Шлёмильха
Признак Шлёмильха — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Оскаром Шлёмильхом: если существует такое , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство:
- ,
то ряд сходится. Если же , начиная с некоторого , то ряд расходится.
Может быть сформулирован в предельной форме — если существует предел:
- ,
то при ряд сходится, а при — расходится.
Если , то признак Шлёмильха не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.
Сравнение с признаком Раабе
Признак Шлёмильха позволяет установить сходимость некоторых рядов, для которых неприменим признак Раабе[1]. Например, для ряда:
- ,
соотношение соседних членов:
- ;
признак Раабе для него даёт:
- ,
а признак Шлёмильха:
Аналогично, признак Бертрана также подтверждает сходимость этого ряда:
- .
Пример неприменимости
Однако, признак Шлёмильха менее чувствителен, чем признак Бертрана. Например, он не позволяет установить сходимость ряда:[1]
Для него соотношение соседних членов:
Признак Раабе для него даёт:
- ,
также, как и признак Шлёмильха:
С другой стороны, признак Бертрана однозначно указывает на сходимость этого ряда:
- .
Примечания
- Franciszek Prus-Wiśniowski, Comparison of Raabe’s and Schlömilch’s tests, Tatra Mt. Math. Publ. 42 (2009), 119—130
Литература
- Subir Kumar Mukherjee. Theorem 15 // First Course in Real Analysis (англ.). — Kolkata: Academic Publishers, 2009. — P. 190. — 383 p. — ISBN 9788189781903.