Признак сравнения

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

Формулировка

Пусть даны два знакоположительных ряда:
$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ и $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$
.

Тогда, если, начиная с некоторого места ( $n>N$ ), выполняется неравенство:
$0\leqslant a_{n}\leqslant b_{n}$ ,
то из сходимости ряда $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ следует сходимость $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ .

Или же, если ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ расходится, то расходится и $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ .

Доказательство

Обозначим $\sigma _{n}$ частные суммы ряда $\sum b_{k}$ . Из неравенств $(*)$ следует, что $0\leqslant s_{n}\leqslant \sigma _{n},\forall n.$ Поэтому из ограниченности $(\sigma _{n})$ вытекает ограниченность $(s_{n}),$ а из неограниченности $(s_{n})$ следует неограниченность $(\sigma _{n}).$ Справедливость признака вытекает из критерия сходимости для $\sum b_{k}.$

Признак сравнения отношений

Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений.

Формулировка

Если для членов строго положительных рядов $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ и $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ , начиная с некоторого места ( $n>N$ ), выполняется неравенство:
${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leqslant {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}$ ,
то из сходимости ряда $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ следует сходимость $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ , а из расходимости $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ следует расходимость $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ .

Доказательство

Перемножая неравенства, составленные для $k=1,2,...,n-1$ , получаем

{\frac {a_{n}}{a_{1}}}\leqslant {\frac {b_{n}}{b_{1}}},

или

a_{n}\leqslant {\frac {a_{1}}{b_{1}}}\,b_{n},\forall n.

Дальше достаточно применить признак сравнения для положительных рядов $\sum a_{k}$ и $\sum {\frac {a_{1}}{b_{1}}}\,b_{k}$ (и учесть, что постоянный множитель не влияет на сходимость).

Предельный признак сравнения

Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.

Формулировка

Если $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ и $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ есть строго положительные ряды и
$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ ,
то при $0\leqslant c<\infty$ из сходимости $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ следует сходимость $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ , а при $0<c\leqslant \infty$ из расходимости $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ следует расходимость $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ .

Доказательство

Из $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ мы знаем, что для любого $\varepsilon >0$ существует $n_{0}$ такое, что для всех $n\geq n_{0}$ мы имеем $\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon$ , или, что то же самое:

-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon

c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon

(c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}

Так как $c>0$ , мы можем взять $\varepsilon$ достаточно малым, чтобы $c-\varepsilon$ было положительным. Но тогда $b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}$ , и по вышеописанному признаку сравнения если $\sum _{n}a_{n}$ сходится, то сходится и $\sum _{n}b_{n}$ .

Точно так же $a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}$ , и тогда, если $\sum _{n}b_{n}$ сходится, то сходится и $\sum _{n}a_{n}$ .

Таким образом либо оба ряда сходятся, либо они оба расходятся.

Литература

Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
Г. М. Фихтенгольц. Теоремы сравнения рядов // Основы математического анализа. — СПб.: Лань, 2001. — Т. 2. — С. 17-19. — 464 с. — ISBN 5-8114-0191-4.

Ссылки

http://www.math24.ru/comparison-tests.html

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

Признаки сходимости рядов
Для всех рядов	Необходимое условие Критерий Коши	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Для знакоположительных рядов	Основной критерий Признак сравнения Признак Куммера Признак Гаусса Радикальный признак Коши Интегральный признак Признак Д’Аламбера Степенной признак Логарифмический признак Признак Раабе Признак Бертрана Признак Жамэ Признак Шлёмильха Признак Ермакова Признак Лобачевского Телескопический признак Признак Сапогова
Для знакочередующихся рядов	Признак Лейбница
Для рядов вида $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Признак Абеля Признак Дедекинда Признак Дюбуа-Реймона Признак Дирихле
Для функциональных рядов	Признак Вейерштрасса
Для рядов Фурье	Признак Дини Признак Валле-Пуссена Признак Жордана Признак Юнга Признак Салема Признак Лебега Признак Лебега — Гергена Признак Марцинкевича