Признак сравнения

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

Формулировка

Пусть даны два знакоположительных ряда:

и

.

Тогда, если, начиная с некоторого места (), выполняется неравенство:

,

то из сходимости ряда следует сходимость .

Или же, если ряд расходится, то расходится и .

Доказательство

Обозначим частные суммы ряда . Из неравенств следует, что Поэтому из ограниченности вытекает ограниченность а из неограниченности следует неограниченность Справедливость признака вытекает из критерия сходимости для


Признак сравнения отношений

Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений.

Формулировка

Если для членов строго положительных рядов и , начиная с некоторого места (), выполняется неравенство:

,

то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .

Доказательство

Перемножая неравенства, составленные для , получаем

или

Дальше достаточно применить признак сравнения для положительных рядов и (и учесть, что постоянный множитель не влияет на сходимость).


Предельный признак сравнения

Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.

Формулировка

Если и есть строго положительные ряды и

,

то при из сходимости следует сходимость , а при из расходимости следует расходимость .

Доказательство

Из мы знаем, что для любого существует такое, что для всех мы имеем , или, что то же самое:

Так как , мы можем взять достаточно малым, чтобы было положительным. Но тогда , и по вышеописанному признаку сравнения если сходится, то сходится и .

Точно так же , и тогда, если сходится, то сходится и .

Таким образом либо оба ряда сходятся, либо они оба расходятся.


Литература

  • Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
  • Г. М. Фихтенгольц. Теоремы сравнения рядов // Основы математического анализа. СПб.: Лань, 2001. — Т. 2. — С. 17-19. — 464 с. — ISBN 5-8114-0191-4.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.