Признак Дирихле

Признак Дирихле — теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна Дирихле.

Признак Дирихле сходимости несобственных интегралов первого рода

Пусть выполнены условия:

$f(x)\in C[a,\;+\infty )$ и имеет на $[a,\;+\infty )$ ограниченную первообразную $F(x)$ , то есть $\exists M>0:\quad |F(x)|\leqslant M\quad \forall x\geqslant a$ ;
функция $g(x)\in C^{1}[a,\;+\infty ),\quad g(x)>0,\quad g'(x)\leqslant 0\quad \forall x>a$ ;
$\lim _{x\to +\infty }g(x)=0$ .

Тогда $\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)g(x)\,dx$ сходится.

Очевидно, что вместо второго условия можно также записать $g(x)\in C^{1}[a,\;+\infty ),\quad g(x)<0,\quad g'(x)\geqslant 0\quad \forall x>a$ .
Условие монотонности в признаке Дирихле существенно.

\int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{{\sqrt {x}}+\sin x}}\,dx=\infty .

Однако условие монотонности не является необходимым.

\int \limits _{2}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x+2\sin x}}\,dx

— сходится.

Условие ограниченности первообразной в признаке Дирихле также является существенным, но не является необходимым.

Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа

Определение (ряд Абелева типа)

Ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ , где $|B_{n}|=\left|\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb {N}$ и последовательность $\{a_{n}\}$ — положительна и монотонна (начиная с некоторого места, хотя бы в широком смысле слова), называется рядом Абелева типа.

Теорема (признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа)

Пусть выполнены условия:

Последовательность частичных сумм $B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}$ ограничена, то есть $\exists M>0:|B_{n}|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb {N}$ .
$a_{n}\geqslant a_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N}$ .
$\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ .

Тогда ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ сходится.

Признак Дирихле сходимости рядов Абелева типа является аналогом признака Дирихле о сходимости несобственного интеграла первого рода.
Легко убедиться, что признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов является частным случаем этой теоремы, а именно:

\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}c_{n},\quad c_{n}>0,\;c_{n+1}\leqslant c_{n}\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\quad \lim _{n\to \infty }c_{n}=0;

b_{n}=(-1)^{n+1}\Rightarrow |B_{n}|=\left|\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\right|\leqslant 1\quad \forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow

сходимость ряда Лейбница на основании признака Дирихле.

Оценка остатка ряда Абелева типа
Рассмотрим ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ и пусть выполнены условия признака Дирихле. Тогда имеет место оценка: $|r_{n}|=\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }a_{k}b_{k}\right|\leqslant 2Ma_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N}$ .
Доказательство признака Дирихле вытекает из преобразования Абеля.

См. также

Признак Абеля

Литература

А. К. Боярчук «Функции комплексного переменного: теория и практика» Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.: Едиториал УРСС, 2001. — 352с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

Признаки сходимости рядов
Для всех рядов	Необходимое условие Критерий Коши	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
Для знакоположительных рядов	Основной критерий Признак сравнения Признак Куммера Признак Гаусса Радикальный признак Коши Интегральный признак Признак Д’Аламбера Степенной признак Логарифмический признак Признак Раабе Признак Бертрана Признак Жамэ Признак Шлёмильха Признак Ермакова Признак Лобачевского Телескопический признак Признак Сапогова
Для знакочередующихся рядов	Признак Лейбница
Для рядов вида $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Признак Абеля Признак Дедекинда Признак Дюбуа-Реймона Признак Дирихле
Для функциональных рядов	Признак Вейерштрасса
Для рядов Фурье	Признак Дини Признак Валле-Пуссена Признак Жордана Признак Юнга Признак Салема Признак Лебега Признак Лебега — Гергена Признак Марцинкевича