Интегральный признак Коши — Маклорена

1. Построим на графике ${\displaystyle f(x)}$ ступенчатые фигуры как показано на рисунке.
2. Площадь большей фигуры равна ${\displaystyle S_{b}=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n-1)}$ .
3. Площадь меньшей фигуры равна ${\displaystyle S_{s}=f(2)+f(3)+f(4)+...+f(n)}$ .
4. Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна ${\displaystyle S_{tr}=\int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx}$
5. Получаем ${\displaystyle S_{s}\leqslant S_{tr}\leqslant S_{b}\;\Rightarrow \;S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant S_{n-1}}$
6. Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.

${\displaystyle \forall b>1}$ ${\displaystyle f(x)}$ монотонна на ${\displaystyle [1,b]}$, следовательно ${\displaystyle \int \limits _{1}^{b}f(x)dx}$ существует.

${\displaystyle \forall x\in [n,n+1]}$ ${\displaystyle f(n)\geqslant f(x)\geqslant f(n+1)}$, следовательно

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \qquad }$ ${\displaystyle \int \limits _{n}^{n+1}f(n)dx=f(n)\geqslant \int \limits _{n}^{n+1}f(x)dx\geqslant f(n+1)}$.
Отсюда, если ${\displaystyle \int \limits _{1}^{+\infty }f(x)\,dx}$ сходится, то

${\displaystyle S_{n}-f(1)=f(2)+...+f(n)\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant \int \limits _{1}^{+\infty }f(x)\,dx<+\infty }$.
Поэтому ${\displaystyle S_{n}}$ ограничена. А так как она неубывающая, то она сходится.

Если ${\displaystyle \int \limits _{1}^{+\infty }f(x)\,dx}$ расходится, то есть ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx=+\infty }$ , то

${\displaystyle S_{n}=f(1)+...+f(n)\geqslant \int \limits _{1}^{n+1}f(x)\,dx\to +\infty ,}$ значит ряд расходится.

Теорема доказана.

• Обобщенный гармонический ряд ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{p}}}}$ сходится при ${\displaystyle p>1}$ и расходится при ${\displaystyle p\leqslant 1}$, так как

${\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}dx=\ln x|_{1}^{+\infty }=+\infty }$ (случай ${\displaystyle p=1}$),

${\displaystyle \int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{p}}}dx=\left.{\frac {1}{1-p}}x^{1-p}\right|_{1}^{+\infty }={\frac {1}{p-1}}}$ при ${\displaystyle p>1}$,

${\displaystyle \int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{p}}}dx=\left.{\frac {1}{1-p}}x^{1-p}\right|_{1}^{+\infty }=+\infty }$ при ${\displaystyle p<1}$.

• ${\displaystyle \sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{x\ln ^{q}x}}}$ сходится при ${\displaystyle q>1}$ и расходится при ${\displaystyle q\leqslant 1}$. Для обоснования нужно рассмотреть ${\displaystyle \int \limits _{2}^{+\infty }{\frac {1}{x\ln ^{q}x}}dx}$.
• На основе сравнения с этими рядами основаны признаки Раабе, Гаусса, Бертрана и некоторые другие. Серию "эталонных" рядов можно продолжить, и на их основе построить семейство все более тонких признаков для медленно сходящихся рядов.

Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток ${\displaystyle r_{n}}$ знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения

${\displaystyle S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant S_{n-1}}$

с помощью несложных преобразований получаем:

${\displaystyle \int \limits _{n+1}^{\infty }f(x)\,dx\leqslant r_{n}\leqslant \int \limits _{n}^{\infty }f(x)\,dx\leqslant a_{n}+\int \limits _{n+1}^{\infty }f(x)\,dx}$.

• Признак Абеля
• Признак сходимости д’Аламбера
• Радикальный признак Коши
• Интеграл Коши