Интегральный признак Коши — Маклорена
Интегральный признак Коши́ — Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши — Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на , последний часто может быть найден в явном виде.
Формулировка теоремы
|
Набросок доказательства
![](../I/%D0%98%D0%BD%D1%82_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8.png.webp)
- Построим на графике ступенчатые фигуры как показано на рисунке.
- Площадь большей фигуры равна .
- Площадь меньшей фигуры равна .
- Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна
- Получаем
- Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.
Полное доказательство
монотонна на , следовательно существует.
, следовательно
.
Отсюда, если сходится, то
.
Поэтому ограничена. А так как она неубывающая, то она сходится.
Если расходится, то есть , то
значит ряд расходится.
Теорема доказана.
Примеры ("эталонные" ряды)
- Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при , так как
(случай ),
при ,
при .
- сходится при и расходится при . Для обоснования нужно рассмотреть .
- На основе сравнения с этими рядами основаны признаки Раабе, Гаусса, Бертрана и некоторые другие. Серию "эталонных" рядов можно продолжить, и на их основе построить семейство все более тонких признаков для медленно сходящихся рядов.
Оценка остатка ряда
Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения
с помощью несложных преобразований получаем:
- .