Формула Гаусса — Остроградского

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

${\displaystyle \int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\omega =\int (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,ds,}$

где ${\displaystyle d\omega }$ и ${\displaystyle ds}$ — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. ${\displaystyle P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)}$ — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью[1].

Современная запись формулы:

${\displaystyle \int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\Omega =\int (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS,}$

где ${\displaystyle \cos \alpha \,{dS}={dy}{dz}}$, ${\displaystyle \cos \beta \,{dS}={dz}{dx}}$ и ${\displaystyle \cos \gamma \,{dS}={dx}{dy}}$. В современной записи ${\displaystyle \omega =d\Omega }$ — элемент объёма, ${\displaystyle s=dS}$ — элемент поверхности[1].

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.