Биномиальный ряд

Сходится ли ряд в формуле (1) зависит значений комплексных чисел ${\displaystyle \alpha }$ и x. Точнее:

1. Если ${\displaystyle |x|<1}$, ряд сходится абсолютно для любого комплексного ${\displaystyle \alpha }$.
2. Если ${\displaystyle \left|x\right|=1}$ ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда либо ${\displaystyle Re(\alpha )>0}$, либо ${\displaystyle \alpha =0}$, где ${\displaystyle Re(\alpha )}$ означает вещественную часть ${\displaystyle \alpha }$.
3. Если ${\displaystyle \left|x\right|=1}$ и ${\displaystyle x\neq -1}$ ряд сходится тогда и только тогда, когда ${\displaystyle Re(\alpha )>-1}$.
4. Если ${\displaystyle x=-1}$ ряд сходится тогда и только тогда, когда либо ${\displaystyle Re(\alpha )>0}$, либо ${\displaystyle \alpha =0}$.
5. Если ${\displaystyle \left|x\right|>1}$ ряд расходится, за исключением случая, когда ${\displaystyle \alpha }$ — неотрицательное целое число (в этом случае ряд становится конечной суммой).

В частности, если ${\displaystyle \alpha }$ не является отрицательным целым числом, ситуация на границе круга сходимости ${\displaystyle |x|=1}$ приведена ниже:

• Если ${\displaystyle Re(\alpha )>0}$ ряд сходится абсолютно.
• Если ${\displaystyle -1<Re(\alpha )\leqslant 0}$ ряд сходится условно, если ${\displaystyle x\neq -1}$, и расходится, если ${\displaystyle x=-1}$.
• Если ${\displaystyle Re(\alpha )\leqslant -1}$ ряд расходится.

Следующее выполняется для любого комплексного числа ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle {\alpha \choose 0}=1,}$

${\displaystyle {\alpha \choose k+1}={\alpha \choose k}\,{\frac {\alpha -k}{k+1}},}$

(2)

${\displaystyle {\alpha \choose k-1}+{\alpha \choose k}={\alpha +1 \choose k}.}$

(3)

Если ${\displaystyle \alpha }$ не является неотрицательным целым (в этом случае биномиальные коэффициенты обращаются, когда ${\displaystyle k}$ больше ${\displaystyle \alpha }$), имеет место следующее асимптотическое соотношение для биномиальных коэффициентов в терминах «o» малое:

${\displaystyle {\alpha \choose k}={\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-\alpha )k^{1+\alpha }}}\,(1+o(1)),\quad {\text{as }}k\to \infty .}$

(4)

Это, фактически, эквивалентно определению Эйлера для гамма-функции:

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {k!\;k^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+k)}},}$

откуда немедленно следуют грубые границы

${\displaystyle {\frac {m}{k^{1+\operatorname {Re} \,\alpha }}}\leqslant \left|{\alpha \choose k}\right|\leqslant {\frac {M}{k^{1+\operatorname {Re} \alpha }}},}$

(5)

для некоторых положительных констант m и M.

Формула (2) для обобщённых биномиальных коэффициентов может быть переписана как

${\displaystyle {\alpha \choose k}=\prod _{j=1}^{k}\left({\frac {\alpha +1}{j}}-1\right).}$

(6)

Для доказательства (i) и (v) применим признак Д’Аламбера и используем формулу (2) выше, чтобы показать, что когда ${\displaystyle \alpha }$ не является неотрицательным целым, радиус сходимости в точности равен 1. Утверждение (ii) следует из формулы (5) путём сравнения с обобщённым гармоническим рядом

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\;{\frac {1}{k^{p}}},}$

с ${\displaystyle p=1+\operatorname {Re} \alpha }$. Для доказательства (iii) сначала используем формулу (3), чтобы получить

${\displaystyle (1+x)\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha +1 \choose k}\;x^{k}+{\alpha \choose n}\;x^{n+1},}$

(7)

а затем используем (ii) и снова формулу (5) для доказательства сходимости правой части, когда ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha >-1}$. С другой стороны, ряд не сходится, если ${\displaystyle |x|=1}$ and ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha \leqslant -1}$, снова по формуле (5). Иначе можно заметить, что для всех ${\displaystyle j}$, ${\textstyle \left|{\frac {\alpha +1}{j}}-1\right|\geqslant 1-{\frac {\operatorname {Re} \alpha +1}{j}}\geqslant 1}$. Тогда, по формуле (6), для всех ${\textstyle k,\left|{\alpha \choose k}\right|\geqslant 1}$. Это завершает доказательство утверждения (iii). Перейдём к (iv) и используем тождество (7) выше с ${\displaystyle x=-1}$ и ${\displaystyle \alpha -1}$ вместо ${\displaystyle \alpha }$, и используем формулу (4), чтобы получить

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;(-1)^{k}={\alpha -1 \choose n}\;(-1)^{n}={\frac {1}{\Gamma (-\alpha +1)n^{\alpha }}}(1+o(1))}$

при ${\displaystyle n\to \infty }$. Утверждение (iv) следует теперь из асимптотического поведения последовательности ${\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-\alpha \log(n)}}$. (А именно, ${\displaystyle \left|e^{-\alpha \log n}\right|=e^{-\operatorname {Re} \alpha \,\log n}}$ определённо сходится к ${\displaystyle 0}$, если ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha >0}$ и расходится к ${\displaystyle +\infty }$, если ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha <0}$. Если ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha =0}$, то ${\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-i\operatorname {Im} \alpha \log n}}$ и сходится тогда и только тогда, когда последовательность ${\displaystyle \operatorname {Im} \alpha \log n}$, что определённо выполняется, если ${\displaystyle \alpha =0}$, но неверно, если ${\displaystyle \operatorname {Im} \alpha \neq 0}$).