Теорема Вариньона (геометрия)
Теоре́ма Вариньо́на — геометрический факт, доказанный Пьером Вариньоном и утверждающий, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма:
Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника.

Параллелограмм, образованный серединами сторон, иногда называется вариньоновским или вариньоновым.
Следствия
- Центр параллелограмма Вариньона лежит на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма).
- Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника.
- Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника.
- Для прямоугольника и равнобедренной трапеции параллелограммом Вариньона является ромб, а для ромба — прямоугольник.
- Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.
- Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны.
- Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны.
Доказательство

Проведём диагональ . Отрезки и будут средними линиями треугольников и . По теореме о средней линии, отрезки будут параллельны диагонали, а, значит, и друг другу. Повторив аналогичные рассуждения для диагонали , получаем, что противоположные стороны четырёхугольника параллельны, и, по определению, это — параллелограмм.
Доказательство, что площадь параллелограмма равна половине площади исходного четырёхугольника
Пусть диагональ проходит внутри четырёхугольника. Тогда площадь треугольника равна , где --- высота треугольника , проведённая из вершины . Аналогично, площадь треугольника равна . Тогда площадь всего четырёхугольника равна . Но — это сумма расстояний до прямой от точек и , то есть в точности высота параллелограмма . А поскольку сторона параллелограмма вдвое меньше , то и площадь параллелограмма равна половине площади , Q. E. D.
выпуклый четырёхугольник | невыпуклый четырёхугольник | самопересекающийся четырёхугольник |
---|---|---|
|
|
|