Теорема Вариньона (геометрия)

Теоре́ма Вариньо́на — геометрический факт, доказанный Пьером Вариньоном и утверждающий, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма:

Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника.

Красный четырёхугольник — параллелограмм

Параллелограмм, образованный серединами сторон, иногда называется вариньоновским или вариньоновым.

Следствия

Центр параллелограмма Вариньона лежит на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма).
Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника.
Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника.
Для прямоугольника и равнобедренной трапеции параллелограммом Вариньона является ромб, а для ромба — прямоугольник.
Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.
Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны.
Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны.

Доказательство

Проведём диагональ $AC$ . Отрезки $IJ$ и $LK$ будут средними линиями треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ . По теореме о средней линии, отрезки будут параллельны диагонали, а, значит, и друг другу. Повторив аналогичные рассуждения для диагонали $BD$ , получаем, что противоположные стороны четырёхугольника $\square IJKL$ параллельны, и, по определению, это — параллелограмм.

Доказательство, что площадь параллелограмма равна половине площади исходного четырёхугольника

Пусть диагональ $AC$ проходит внутри четырёхугольника. Тогда площадь треугольника $ABC$ равна ${\frac {AC\cdot h_{b}}{2}}$ , где $h_{b}$ --- высота треугольника $ABC$ , проведённая из вершины $B$ . Аналогично, площадь треугольника $ADC$ равна ${\frac {AC\cdot h_{d}}{2}}$ . Тогда площадь всего четырёхугольника равна ${\frac {AC(h_{b}+h_{d})}{2}}$ . Но ${\frac {(h_{b}+h_{d})}{2}}={\frac {h_{b}}{2}}+{\frac {h_{d}}{2}}$ — это сумма расстояний до прямой $AC$ от точек $E$ и $H$ , то есть в точности высота параллелограмма $EHGF$ . А поскольку сторона $GH$ параллелограмма вдвое меньше $AC$ , то и площадь параллелограмма равна половине площади $ABCD$ , Q. E. D.

выпуклый четырёхугольник	невыпуклый четырёхугольник	самопересекающийся четырёхугольник

См. также

Примечания

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.