Уравнения Лагранжа второго рода

Если голономная механическая система описывается лагранжианом ${\displaystyle L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}$ (${\displaystyle q_{i}}$ — обобщённые координаты, t — время, точкой обозначено дифференцирование по времени) и в системе действуют только потенциальные силы, то уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0}$,

где i = 1, 2, … n (n — число степеней свободы механической системы). Лагранжиан представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий системы.

При наличии и потенциальных (${\displaystyle Q_{i}^{p}}$), и непотенциальных (${\displaystyle Q_{i}^{n}}$) обобщённых сил появляется правая часть:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=Q_{i}^{n}}$.

К непотенциальным силам относится, например, сила трения. При этом можно перезаписать уравнения Лагранжа второго рода в несколько иной форме:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}=Q_{i}}$,

где ${\displaystyle T(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}$ — кинетическая энергия системы, ${\displaystyle Q_{i}^{p}+Q_{i}^{n}=Q_{i}}$ — обобщённая сила.

Уравнения Лагранжа в механике получаются из законов динамики Эйлера (баланса количества движения и момента количества движения) при определённых ограничениях на систему: в ней должны присутствовать лишь идеальные голономные связи. Это частный, хотя и очень важный случай механических систем. Для других случаев получаются модификации уравнений Лагранжа[1].

Если для рассматриваемой системы актуален принцип наименьшего действия (ему подчиняются далеко не все физические системы), вывод можно провести иначе. В лагранжевой механике вывод уравнений осуществляется на основе данного принципа, гласящего, что действительные движения выделяются из всех мыслимых тем условием, что функционал

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)dt}$,

называемый действием, принимает экстремальное (для достаточно малых ${\displaystyle t_{2}-t_{1}}$ - минимальное) значение на траектории действительного движения системы (${\displaystyle t_{1}}$ и ${\displaystyle t_{2}}$ — начальный и конечный моменты времени)[2]. Применяя к функционалу действия стандартную схему оптимизации, получим для него уравнения Лагранжа — Эйлера, которые и называются уравнениями Лагранжа второго рода для механической системы. Ниже дан вывод уравнения для системы с одной обобщённой координатой и скоростью.

Будем считать, что вариация на границах равна нулю:

${\displaystyle \delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0}$.

Изменение действия при переходе из состояния ${\displaystyle t_{1}}$ в ${\displaystyle t_{2}}$ есть

${\displaystyle \delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q+\delta q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t)dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,{\dot {q}},t)dt}$.

Разлагая эту разность по степеням, получим:

${\displaystyle \delta S=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,{\dot {q}},t)dt}$.

Варьируя это выражение, получаем:

${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta {\dot {q}}\right)dt=0}$.

Замечая, что ${\displaystyle \delta {\dot {q}}={\frac {d}{dt}}\delta q}$, проинтегрируем второй член по частям:

${\displaystyle \delta S={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q{\Bigl .}{\Bigr |}_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta qdt=0}$.

Первое слагаемое равно нулю исходя из самой первой формулы вывода. Второе слагаемое может быть равно нулю, только если подынтегральное выражение равно нулю. Таким образом, получаем искомое уравнение Лагранжа:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q}}=0}$.

• Уравнения Лагранжа первого рода