Дифракция

Распределение интенсивности света при дифракции на щели

В качестве примера рассмотрим дифракционную картину, возникающую при прохождении света через щель в непрозрачном экране. Мы найдём интенсивность света в зависимости от угла в этом случае. Для написания исходного уравнения используем принцип Гюйгенса.

Рассмотрим монохроматическую плоскую волну с амплитудой ${\displaystyle \Psi ^{\prime }}$ с длиной волны ${\displaystyle \lambda }$, падающую на экран с щелью ширины ${\displaystyle a}$.

Будем считать, что щель находится в плоскости x′ − y′ с центром в начале координат. Тогда может предполагаться, что дифракция производит волну ψ, которая расходится радиально. Вдали от разреза можно записать

${\displaystyle \Psi =\int \limits _{\mathrm {slit} }{\frac {i}{r\lambda }}\Psi ^{\prime }e^{-ikr}\,d\mathrm {slit} .}$

Пусть (x′, y′, 0) — точка внутри разреза, по которому мы интегрируем. Мы хотим узнать интенсивность в точке (x, 0, z). Щель имеет конечный размер в x направлении (от ${\displaystyle x^{\prime }=-a/2}$ до ${\displaystyle +a/2}$) и бесконечна в y направлении ([${\displaystyle y'=-\infty ,\infty }$]).

Расстояние r от щели определяется как:

${\displaystyle r={\sqrt {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}+z^{2}}},}$

${\displaystyle r=z\left(1+{\frac {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

Предполагая случай дифракции Фраунгофера, получим условие ${\displaystyle z\gg {\big |}\left(x-x^{\prime }\right){\big |}.}$ Другими словами, расстояние до точки наблюдения много больше характерного размера щели (ширины).

Используя биномиальное разложение и пренебрегая слагаемыми второго и выше порядков малости, можно записать расстояние в виде:

${\displaystyle r\approx z\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}}{z^{2}}}\right),}$

${\displaystyle r\approx z+{\frac {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}}{2z}}.}$

Видно, что 1/r перед уравнением не осциллирует, то есть даёт малый вклад в интенсивность по сравнению с экспоненциальным множителем. Тогда его можно записать приближённо как z.

${\displaystyle \Psi }$	${\displaystyle ={\frac {i\Psi ^{\prime }}{z\lambda }}\int \limits _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-ik\left[z+{\frac {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}+y^{\prime 2}}{2z}}\right]}\,dx^{\prime }\,dy^{\prime }}$
	${\displaystyle ={\frac {i\Psi ^{\prime }}{z\lambda }}e^{-ikz}\int \limits _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{-ik\left[{\frac {\left(x-x^{\prime }\right)^{2}}{2z}}\right]}\,dx^{\prime }\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-ik\left[{\frac {y^{\prime 2}}{2z}}\right]}\,dy^{\prime }}$
	${\displaystyle =\Psi ^{\prime }{\sqrt {\frac {i}{z\lambda }}}e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}\int \limits _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikxx^{\prime }}{z}}e^{\frac {-ikx^{\prime 2}}{2z}}\,dx^{\prime }}$

Здесь мы введём некую константу C, которой обозначим все постоянные множители в предыдущем уравнении. Она в общем случае может быть комплексной, но это не важно, так как в конце нас будет интересовать только интенсивность, и нам будет интересен только квадрат модуля.

В случае дифракции Фраунгофера ${\displaystyle kx^{\prime 2}/z}$ мало, поэтому ${\displaystyle e^{\frac {-ikx^{\prime 2}}{2z}}\approx 1.}$ Такое же приближение верно и для ${\displaystyle e^{\frac {-ikx^{2}}{2z}}.}$ Таким образом, считая ${\displaystyle C=\Psi ^{\prime }{\sqrt {\frac {i}{z\lambda }}},}$ приходим к выражению:

${\displaystyle \Psi }$	${\displaystyle =C\int \limits _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}e^{\frac {ikxx^{\prime }}{z}}\,dx^{\prime }}$
	${\displaystyle =C{\frac {\left(e^{\frac {ikax}{2z}}-e^{\frac {-ikax}{2z}}\right)}{\frac {ikx}{z}}}}$

Используя формулу Эйлера и её производную: ${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$ и ${\displaystyle \sin \theta ={\frac {x}{z}}.}$

${\displaystyle \Psi =aC{\frac {\sin {\frac {ka\sin \theta }{2}}}{\frac {ka\sin \theta }{2}}}=aC\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {ka\sin \theta }{2}}\right)\right],}$

где ненормированная функция sinc(x) определена как ${\displaystyle \operatorname {sinc} x\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\sin x}{x}}.}$

Подставляя ${\displaystyle {\frac {2\pi }{\lambda }}=k}$ в последнее выражение для амплитуды, можно получить ответ для интенсивности в виде ${\displaystyle I}$ волны в зависимости от угла θ:

${\displaystyle I(\theta )}$

${\displaystyle =I_{0}{\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\pi a}{\lambda }}\sin \theta \right)\right]}^{2}.}$

См. также Дифракция на N щелях.

Исследованием дифракции радиоволн занимается геометрическая теория дифракции[3]

Дифракционная решётка — оптический прибор, работающий по принципу дифракции света, представляет собой совокупность большого числа регулярно расположенных штрихов (щелей, выступов), нанесённых на некоторую поверхность. Первое описание явления сделал Джеймс Грегори, который использовал в качестве решётки птичьи перья.

Дифракцию рентгеновских лучей можно наблюдать, направив их на кристалл, она используется в рентгеноструктурном анализе для определения структуры кристалла. Кроме того, дифракцию рентгеновских лучей можно получить, направив их на обычную дифракционную решётку (то есть, используемую для наблюдения дифракции видимого излучения) так, чтобы угол падения был достаточно близок к 90 градусам, этим способом можно измерить длину волны рентгеновских лучей[4].

Одним из наглядных примеров дифракции света на ультразвуке является дифракция света на ультразвуке в жидкости. В одной из постановок такого эксперимента в оптически-прозрачной ванночке в форме прямоугольного параллелепипеда с оптически-прозрачной жидкостью с помощью пластинки из пьезоматериала на частоте ультразвука возбуждается стоячая волна. В её узлах плотность воды ниже, и как следствие ниже её оптическая плотность, в пучностях — выше. Таким образом, при этих условиях ванночка с водой становится для световой волны фазовой дифракционной решёткой, на которой осуществляется дифракция в виде изменения фазовой структуры волн, что можно наблюдать в оптический микроскоп методом фазового контраста или методом тёмного поля.

Дифракция электронов — процесс рассеяния электронов на совокупности частиц вещества, при котором электрон проявляет свойства, аналогичные свойствам волны. При выполнении некоторых условий, пропуская пучок электронов через материал можно зафиксировать дифракционную картину, соответствующую структуре материала. Процесс дифракции электронов получил широкое применение в аналитических исследованиях кристаллических структур металлов, сплавов, полупроводниковых материалов.

Согласно Закону Брэгга каждая точка (или отражение) в этой дифракционной картине формируется конструктивной интерференцией рентгеновских лучей, проходящих через кристалл. Эти данные могут быть использованы для определения атомной структуры кристаллов.

Дифракция от трехмерной периодической структуры, такой как атомы в кристалле называется дифракцией Брегга. Это похоже на то, что происходит, когда волны рассеиваются на дифракционной решётке. Брегговская дифракция является следствием интерференции между волнами, отражёнными от кристаллических плоскостей. Условие возникновения интерференции определяется законом Вульфа-Брегга:

${\displaystyle 2d\sin \theta =n\lambda }$,

где

d — расстояние между кристаллическими плоскостями,

θ угол скольжения — дополнительный угол к углу падения,

λ — длина волны,

n (n = 1,2…) — целое число называемое порядком дифракции.

Брегговская дифракция может осуществляться при использовании света с очень маленькой длиной волны, такого как рентгеновское излучение, либо волны материи, такие как нейтроны и электроны, длины волн которых сравнимы или много меньше, чем межатомное расстояние[5]. Получаемые данные дают информацию о межплоскостных расстояниях, что позволяет вывести кристаллическую структуру. Дифракционный контраст, в электронных микроскопах и рентгеновских топографических устройствах, в частности, также является мощным инструментом для изучения отдельных дефектов и локальных полей деформации в кристаллах.