Генерация второй оптической гармоники

Генерация второй гармоники была впервые реализована Питером Франкеном, Хиллом, Петерсом и Вайнрайхом в Университете Мичигана, Анн-Арборе, в 1961 году. [1] Реализация стала возможной благодаря изобретению лазера, который создал необходимую высокую интенсивность монохроматического излучения. В этом опыте излучение, генерируемое рубиновым лазером, фокусировалось в кристалл кварца. Выходное излучение разворачивали в спектр при помощи дисперсионной призмы и фокусировали на фотопластинку. В результате можно было наблюдать, что помимо света на частоте лазера из кристалла выходило излучение на длине волны 347 нм. Это и была вторая гармоника.  Позже эксперименты по ГВГ повторили Джордмейн [2], Мейкер и др[3]., Миллер и Сейвидж и др[4].  

Уравнение для частотной компоненты поля с частотой ${\displaystyle \omega _{n}}$ может быть записано как[5]

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} _{n}(\mathbf {r} )+{\frac {\omega _{n}^{2}}{c^{2}}}{\varepsilon }\left(\omega _{n}\right)\cdot \mathbf {E} _{n}(\mathbf {r} )=-{\frac {\omega _{n}^{2}}{\varepsilon _{0}c^{2}}}\mathbf {P} _{n}^{\mathrm {NL} }(\mathbf {r} )}$

где ${\displaystyle \varepsilon \left(\omega _{n}\right)}$ — диэлектрическая проницаемость материала на частоте ${\displaystyle \omega _{n}}$.

Рассмотрим общий случай генерации суммарной частоты ${\displaystyle \omega _{3}}$ двумя волнами с частотами ${\displaystyle \omega _{1}}$ и ${\displaystyle \omega _{2}}$. Генерация второй гармоники — частный случай при ${\displaystyle \omega _{1}=\omega _{2}=\omega }$, ${\displaystyle \omega _{3}=\omega _{1}+\omega _{2}=2\omega }$. Будем считать, что волна распространяется в направлении z, и векторные величины можно заменить скалярными.

Тогда поляризация

${\displaystyle P_{3}(\omega _{3})=\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}E_{1}(\omega _{1})E_{2}(\omega _{2})=4\varepsilon _{0}d_{\text{eff}}(\omega _{3};\omega _{1},\omega _{2})E_{1}(\omega _{1})E_{2}(\omega _{2}),\,}$

(в случае второй гармоники ${\displaystyle P(2\omega )=\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}E^{2}(\omega )=2\varepsilon _{0}d_{\text{eff}}(2\omega$ ;\omega ,\omega )E^{2}(\omega )} )

где ${\displaystyle d_{\text{eff}}}$ — эффективный нелинейно-оптический коэффициент.

Учтем, что

${\displaystyle E_{i}(z,t)=E_{i}(\omega _{i})e^{-i\omega _{i}t}}$

${\displaystyle E_{i}(\omega _{i})=A_{i}e^{ik_{i}z}}$

тогда

${\displaystyle P_{3}(\omega _{3})=4\varepsilon _{0}d_{\text{eff}}A_{1}A_{2}e^{ik_{1}z+ik_{2}z},\,}$

При подстановке в волновое уравнение получаем

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\left[{\frac {d^{2}A_{3}}{dz^{2}}}+2ik_{3}{\frac {dA_{3}}{dz}}-k_{3}^{2}A_{3}+{\frac {\varepsilon \left(\omega _{3}\right)\omega _{3}^{2}A_{3}}{c^{2}}}\right]e^{i\left(k_{3}z-\omega _{3}t\right)}+\mathrm {c.c.} }={\frac {-4d_{\mathrm {eff} }\omega _{3}^{2}}{c^{2}}}A_{1}A_{2}e^{i\left[\left(k_{1}+k_{2}\right)z-\omega _{3}t\right]}+\mathrm {c.c.} \end{array}}}$

поскольку ${\displaystyle k_{3}^{2}=\varepsilon \left(\omega _{3}\right)\omega _{3}^{2}A_{3}/c^{2}}$, получаем

${\displaystyle {\frac {d^{2}A_{3}}{dz^{2}}}+2ik_{3}{\frac {dA_{3}}{dz}}={\frac {-4d_{\mathrm {eff} }\omega _{3}^{2}}{c^{2}}}A_{1}A_{2}e^{i\left(k_{1}+k_{2}-k_{3}\right)z}}$

Воспользуемся приближением медленно меняющихся амплитуд:

${\displaystyle {\frac {dA_{3}}{dz}}={\frac {2id_{\mathrm {eff} }\omega _{3}^{2}}{k_{3}c^{2}}}A_{1}A_{2}e^{i\Delta kz}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dA_{1}}{dz}}&={\frac {2id_{\mathrm {eff} }\omega _{1}^{2}}{k_{1}c^{2}}}A_{3}A_{2}^{*}e^{-i\Delta kz}\\{\frac {dA_{2}}{dz}}&={\frac {2id_{\mathrm {eff} }\omega _{2}^{2}}{k_{2}c^{2}}}A_{3}A_{1}^{*}e^{-i\Delta kz}\end{aligned}}}$

Зависимость интенсивности второй гармоники на расстоянии L от разности ${\displaystyle \Delta k}$. При ${\displaystyle \Delta k=0}$ достигается условие фазового синхронизма и интенсивность максимальна

где ${\displaystyle \Delta k=k_{1}+k_{2}-k_{3}}$.

При низком коэффициенте преобразования (${\displaystyle A_{3}<<A_{1},A_{2}}$) амплитуды ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$ можно считать постоянными по всей длине взаимодействия, ${\displaystyle L}$. Учитывая граничные условия${\displaystyle E_{3}(z=0)=0}$, получим:

${\displaystyle A_{3}(L)={\frac {2id_{\mathrm {eff} }\omega _{3}^{2}A_{1}A_{2}}{k_{3}c^{2}}}\int _{0}^{L}e^{i\Delta kz}dz={\frac {2id_{\mathrm {eff} }\omega _{3}^{2}A_{1}A_{2}}{k_{3}c^{2}}}\left({\frac {e^{i\Delta kL}-1}{i\Delta k}}\right)}$

Тогда интенсивность:

${\displaystyle I_{i}=2n_{i}\varepsilon _{0}c|A_{i}|^{2}}$

${\displaystyle I_{3}={\frac {2d_{\mathrm {eff} }^{2}\omega _{3}^{2}}{n_{1}n_{2}n_{3}\varepsilon _{0}c^{3}}}L^{2}\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\Delta kL}{2}}\right)I_{1}I_{2}}$

для второй гармоники

${\displaystyle I(2\omega )={\frac {2\omega ^{2}d_{\text{eff}}^{2}L^{2}}{n_{2\omega }n_{\omega }^{2}c^{3}\varepsilon _{0}}}\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\Delta kL}{2}}\right)I^{2}(\omega )}$

При выполнении условия фазового синхронизма ${\displaystyle \Delta k=0}$ интенсивность максимальна и растет как ${\displaystyle z^{2}}$.

Когда преобразование во 2-ю гармонику становится значительным, необходимо учитывать истощение волны накачки [5][6][7]. Аналогично предыдущему параграфу, уравнения на амплитуды запишутся как

${\displaystyle {\frac {dA_{1}}{dz}}={\frac {2i\omega _{1}^{2}d_{\mathrm {eff} }}{k_{1}c^{2}}}A_{2}A_{1}^{*}e^{-i\Delta kz}}$

${\displaystyle {\frac {dA_{2}}{dz}}={\frac {i\omega _{2}^{2}d_{\mathrm {eff} }}{k_{2}c^{2}}}A_{1}^{2}e^{i\Delta kz}}$

где * означает комплексно-сопряженную величину, при этом ${\displaystyle A_{2}}$ - амплитуда второй гармоники, а ${\displaystyle A_{1}}$ - амплитуда фундаментальной волны, ${\displaystyle \omega _{2}=2\omega _{1}=2\omega }$.

Для простоты предположим, что ${\displaystyle \Delta k=0}$

Интенсивность второй гармоники при соблюдении условия фазового синхронизма (синяя линия), интенсивность падающей волны (оранжевая линия) в зависимости от пройденного расстояния. Г${\displaystyle =1/l}$

Запишем следствие cоотношений Мэнли — Роу

${\displaystyle n_{2}|A_{2}|^{2}+n_{1}|A_{1}|^{2}=n_{1}|A_{0}|^{2}}$ , т.к. суммарная интенсивность ${\displaystyle I_{1}+I_{2}=I=2n_{1}\varepsilon _{0}c|A_{0}|^{2}}$

При этом амплитуды представимы в виде:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=|A_{1}|e^{i\varphi _{1}}\\A_{2}&=|A_{2}|e^{i\varphi _{2}}\end{aligned}}}$

Амплитуда второй гармоники при распространении в нелинейной среде в зависимости от расстояния. Обозначения см. в статье J. A. Armstrong[8]. ${\displaystyle \Delta s=0}$ соответствует условию фазового синхронизма.

Подставив соотношения на амплитуды во второе уравнение, получаем

${\displaystyle {\frac {d|A_{2}|}{dz}}e^{i\varphi _{2}}={\frac {i\omega _{2}^{2}d_{\mathrm {eff} }}{k_{2}c^{2}}}{\frac {n_{2}}{n_{1}}}\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}|A_{0}|^{2}-|A_{2}|^{2}\right)e^{2i\varphi _{1}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{|A_{2}|_{z=L}}{\frac {d|A_{2}|}{{\frac {n_{1}}{n_{2}}}|A_{0}|^{2}-|A_{2}|^{2}}}=\int _{0}^{L}{{\frac {i\omega _{2}^{2}d_{\mathrm {eff} }}{k_{2}c^{2}}}{\frac {n_{2}}{n_{1}}}e^{2i\varphi _{1}-i\varphi _{2}}dz}}$

Используя

${\displaystyle \int {\frac {dx}{a^{2}-x^{2}}}={\frac {1}{a}}\operatorname {th} ^{-1}{\frac {x}{a}}}$

Получим

${\displaystyle |A_{2}|_{z=L}={\sqrt {\frac {n_{1}}{n_{2}}}}|A_{0}|\operatorname {th} \left({\sqrt {\frac {n_{1}}{n_{2}}}}|A_{0}|{{\frac {i\omega _{2}^{2}d_{\mathrm {eff} }}{k_{2}c^{2}}}{\frac {n_{2}}{n_{1}}}e^{2i\varphi _{1}-i\varphi _{2}}L}\right)}$

Предположим, что начальные фазы таковы, что ${\displaystyle e^{2i\varphi _{1}-i\varphi _{2}}=-i}$, тогда

${\displaystyle |A_{2}|_{z=L}={\sqrt {\frac {n_{1}}{n_{2}}}}|A_{0}|\operatorname {th} \left(L/l\right)}$

где

${\displaystyle l={\frac {{\sqrt {n_{1}n_{2}}}c}{|A_{0}|\omega _{2}d_{\mathrm {eff} }}}}$

${\displaystyle I(2\omega ,L)=I(\omega ,0)\operatorname {th} ^{2}{\left({\frac {|A_{0}|\omega _{2}d_{\mathrm {eff} }L}{{\sqrt {n_{1}n_{2}}}c}}\right)}}$

${\displaystyle I(\omega ,L)=I(\omega ,0)\operatorname {sch} ^{2}{\left({\frac {|A_{0}|\omega _{2}d_{\mathrm {eff} }L}{{\sqrt {n_{1}n_{2}}}c}}\right)}}$

В общем случае отсутствия фазового синхронизма решение приведено в статье [8]и дается эллиптическими интегралами.

При падении электромагнитной волны небольшой амплитуды на диэлектрик суммарный дипольный момент единицы объёма (поляризация диэлектрика), возникающий при этом, пропорционален амплитуде волны. В результате дипольный момент рождает вторичную волну той же частоты. При больших амплитудах суммарный дипольный момент является нелинейной функцией амплитуды падающей волны. То есть он оказывается зависящим не только от первой, но и от второй, третьей и последующих степеней амплитуды падающей волны. Это и приводит к рождению вторичных волн удвоенной, утроенной и т. д. частоты (из тригонометрии известно, что ${\displaystyle \cos ^{2}\omega t=(1+\cos 2\omega t)/2,}$ ${\displaystyle \cos ^{3}\omega t=(3\cos \omega t+\cos 3\omega t)/4,}$ и т. д. [9]).

Схема энергетических уровней для процесса генерации второй гармоники

С квантовой точки зрения нелинейный процесс преобразования частоты выглядит следующим образом. При генерации второй гармоники, можно считать, что два фотона исходной частоты ${\displaystyle \omega }$ одновременно поглощаются в среде, переводя систему на виртуальный уровень с энергией ${\displaystyle 2\hbar \omega }$, после чего система релаксирует с этого уровня в основное состояние с излучением фотона частотой ${\displaystyle 2\omega }$.

В исследованиях по направлению лазерного термоядерного синтеза используют ГВГ, поскольку критическая плотность плазмы прямо пропорциональна квадрату частоты воздействующего излучения, то увеличение частоты излучения приводит к повышению значения критической плотности плазмы, следовательно, воздействующее излучение взаимодействует с более плотными слоями плазмы. Также использование излучения оптических гармоник позволяет изолировать лазер от отраженного плазмой излучения и тем самым предотвратить разрушение оптических элементов. Использование оптических гармоник применяется для зондирования плазмы. Помимо этого, ГВГ используется для накачки других лазеров и расширения спектра многоспектральных лазерных установок.

В сегнетоэлектриках с большой поляризуемостью. Потенциальная яма для электрона там сильно несимметрична. Поэтому сегнетоэлектрик со спонтанной поляризацией много эффективнее преобразует частоту излучения, чем другие кристаллы. Также наблюдается в полимерах, содержащих в своём объёме молекулы с нелинейно-оптическими хромофорами — они также обладают большой поляризуемостью.

• Бурсиан, Э. В. Сегнетоэлектрики в нелинейной оптике // Соросовский образовательный журнал. — 2001. — Т. 7. — С. 98—102.