Метод медленно меняющихся амплитуд

Метод медленно меняющихся амплитуд (МММА, иногда метод Ван-дер-Поля)[1] применяется для приближенного решения нелинейных уравнений, близких к линейным, а колебания близки к гармоническим[2]. Метод основан на допущении, что амплитуда (огибающая) волны меняется медленно во времени и пространстве по сравнению с периодом волны.

Метод применяется, например, в радиофизике[3], нелинейной оптике[4][5][6].

Пример

Рассмотрим уравнение электромагнитной волны:

\nabla ^{2}E-\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}=0,

где k₀ и ω₀ волновой вектор и угловая частота волны E(r,t), и используем следующее представление:

E(\mathbf {r} ,t)=\Re \left[E_{0}(\mathbf {r} ,t)\,e^{i\,(\mathbf {k} _{0}\,\cdot \,\mathbf {r} -\omega _{0}\,t)}\right],

где $\scriptstyle \Re [\cdot ]$ обозначает вещественную часть.

В приближении медленно меняющейся амплитуды предполагается, что комплексная амплитуда E₀(r, t) меняется медленно в зависимости от r и t. Это также предполагает, что E₀(r, t) представляет волну, распространяющуюся вперед в направлении k₀. В результате медленного изменения E₀(r, t), производными высокого порядка можно пренебречь:[7]

\displaystyle \left|\nabla ^{2}E_{0}\right|\ll \left|{\vec {k}}_{0}\cdot \nabla E_{0}\right|

и

\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}E_{0}}{\partial t^{2}}}\right|\ll \left|\omega _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}\right|,

,

k_{0}=|\mathbf {k} _{0}|.

После применения приближения и обнуления высших производных волновое уравнение запишется как :

2\,i\,\mathbf {k} _{0}\,\cdot \nabla E_{0}+2\,i\,\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-\left(k_{0}^{2}-\omega _{0}^{2}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\right)\,E_{0}=0.

С учетом того, что k₀ и ω₀ удовлетворяют дисперсионному соотношению:

k_{0}^{2}-\omega _{0}^{2}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}=0.\,

получаем:

\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}=0.

Это гиперболическое уравнение, как и исходное волновое уравнение, но теперь первого, а не второго порядка. Оно верно для когерентных распространяющихся в близких к направлению k₀ волн. Часто такое уравнение решить значительно проще, чем исходное.

Параболическое приближение

Рассмотрим распространение вдоль направления z, то есть k₀||z.Тогда метод применяется только к производным по координате z и по времени. Если $\scriptstyle \Delta _{\perp }=\partial ^{2}/\partial x^{2}+\partial ^{2}/\partial y^{2}$ — оператор Лапласа в плоскости x-y, получим в результате:

k_{0}{\frac {\partial E_{0}}{\partial z}}+\omega _{0}\,\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-{\tfrac {1}{2}}\,i\,\Delta _{\perp }E_{0}=0.

Это параболическое уравнение, поэтому приближение называется также параболическим приближением[8].

См. также

Ссылки

Balth. van der Pol Jun. D.Sc. (1927) VII. Forced oscillations in a circuit with non-linear resistance. (Reception with reactive triode), The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 3:13, 65-80
Папалекси Н Д, Андронов А А, Горелик Г С, Рытов С М «Некоторые исследования в области нелинейных колебаний, проведённые в СССР, начиная с 1935 г.» УФН 33 335—352 (1947)
Андреев В. С. Теория нелинейных электрических цепей: Учебное пособие для вузов. — М.: Радио и связь, 1982. — 280 с.
Arecchi, F. T. & Bonifacio, R. IEEE J. Quantum Electron. 1, 169—178 (1965).
Сизмин Д. В. «Нелинейная оптика», Саров: СарФТИ, 2015. — 147 с.
R. W. Boyd (2008). Nonlinear Optics (Third ed.). Orlando: Academic Press.
Butcher, Paul N. The elements of nonlinear optics / Paul N. Butcher, David Cotter. — Reprint. — Cambridge University Press, 1991. — P. 216. — ISBN 0-521-42424-0.
Svelto, Orazio. Self-focussing, self-trapping, and self-phase modulation of laser beams // Progress in Optics. — North Holland, 1974. — Vol. 12. — P. 23–25. — ISBN 0-444-10571-9.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Balth. van der Pol Jun. D.Sc. (1927) VII. Forced oscillations in a circuit with non-linear resistance. (Reception with reactive triode), The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 3:13, 65-80

[2] Папалекси Н Д, Андронов А А, Горелик Г С, Рытов С М «Некоторые исследования в области нелинейных колебаний, проведённые в СССР, начиная с 1935 г.» УФН 33 335—352 (1947)

[3] Андреев В. С. Теория нелинейных электрических цепей: Учебное пособие для вузов. — М.: Радио и связь, 1982. — 280 с.

[4] Arecchi, F. T. & Bonifacio, R. IEEE J. Quantum Electron. 1, 169—178 (1965).

[5] Сизмин Д. В. «Нелинейная оптика», Саров: СарФТИ, 2015. — 147 с.

[6] R. W. Boyd (2008). Nonlinear Optics (Third ed.). Orlando: Academic Press.

[7] Butcher, Paul N. The elements of nonlinear optics / Paul N. Butcher, David Cotter. — Reprint. — Cambridge University Press, 1991. — P. 216. — ISBN 0-521-42424-0.

[8] Svelto, Orazio. Self-focussing, self-trapping, and self-phase modulation of laser beams // Progress in Optics. — North Holland, 1974. — Vol. 12. — P. 23–25. — ISBN 0-444-10571-9.