Квазиклассическое приближение

Квазиклассическое приближение, также известное как метод ВКБ (ВентцеляКрамерсаБриллюэна) — самый известный пример квазиклассического вычисления в квантовой механике, в котором волновая функция представлена как показательная функция, квазиклассически расширенная, а затем или амплитуда, или фаза медленно изменяются. Этот метод назван в честь физиков Г. Вентцеля, Х.А. Крамерса и Л. Бриллюэна, которые развили этот метод в 1926 году независимо друг от друга. В 1923 математик Гарольд Джеффри развил общий метод приближённого решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, который включает и решение уравнения Шрёдингера. Но так как уравнение Шрёдингера появилось два года спустя, и Вентцель, и Крамерс, и Бриллюэн, очевидно, не знали эту более раннюю работу.

Вывод

Начиная с одномерного стационарного уравнения Шрёдингера:

которое можно переписать в виде

мы представим волновую функцию в виде экспоненциальной функции другой неизвестной функции Φ

Φ должна удовлетворять уравнению

где означает производную от по x. Разделим на действительную и мнимую части, вводя действительные функции A и B:

Тогда амплитуда волновой функции , а фаза — . Из уравнения Шрёдингера следуют два уравнения, которым должны удовлетворять эти функции:

Мы хотим рассмотреть квазиклассическое приближение, чтобы решить эти уравнения. Это означает, что мы разложим каждую функцию как ряд по степеням . Из уравнений мы можем видеть, что степенной ряд должен начинаться со слагаемого , чтобы удовлетворить действительной части уравнения. Но поскольку нам нужен хороший классический предел, мы также хотим начать разложение со столь высокой степени постоянной Планка, насколько это возможно.

С точностью до первого порядка разложения уравнения запишутся в виде

Если амплитуда меняется слабее, чем фаза, то можно положить и получить

Это верно только если полная энергия больше потенциальной энергии. После аналогичных вычислений для следующего порядка малости получим

С другой стороны, если фаза меняется медленно по сравнению с амплитудой, мы положим и получим

Это верно, если потенциальная энергия больше полной. Для следующего порядка малости получим

Это очевидно, что из-за знаменателя оба из этих приближённых решений расходятся около классической точки поворота, где и не может быть правильной. Мы имеем приблизительные решения далеко от потенциального барьера и ниже потенциального холма. Далеко от потенциального барьера частицы ведут себя подобно свободной волне — фаза осциллирует. Ниже потенциального барьера частица подвергается экспоненциальным изменениям в амплитуде.

Чтобы полностью решить задачу, мы должны найти приблизительные решения всюду и приравнять коэффициенты, чтобы сделать глобальное приблизительное решение. Мы должны всё же приблизить решение около классических точек поворота.

Обозначим классическую точку поворота . Вблизи , можно разложить в ряд.

Для первого порядка получим

Решение его вблизи точек поворота выглядит следующим образом:

Используя асимптотики данного решения, можно найти отношения между и :

Что завершает построение глобального решения.

Литература

  • Покровский В. Л. Квазиклассическое приближение. // Физическая энциклопедия. — Т. 2. — М.: СЭ, 1990. — С. 252-255.
  • ВКБ-метод. // Физическая энциклопедия. — Т. 1. — М.: СЭ, 1988. — С. 285.
  • Фрёман H., Фрёман П. У. ВКБ-приближение. М.: Мир, 1967. — 166 с.
  • Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976. — 296 с.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.