Квазиклассическое приближение

Начиная с одномерного стационарного уравнения Шрёдингера:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)}$

которое можно переписать в виде

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)}$

мы представим волновую функцию в виде экспоненциальной функции другой неизвестной функции Φ

${\displaystyle \Psi (x)=e^{\Phi (x)}}$

Φ должна удовлетворять уравнению

${\displaystyle \Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\right]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$

где ${\displaystyle \Phi '}$ означает производную от ${\displaystyle \Phi }$ по x. Разделим ${\displaystyle \Phi '(x)}$ на действительную и мнимую части, вводя действительные функции A и B:

${\displaystyle \Phi '(x)=A(x)+iB(x)}$

Тогда амплитуда волновой функции ${\displaystyle e^{\int ^{x}A(x')dx'}}$, а фаза — ${\displaystyle {\int ^{x}B(x')dx'}}$. Из уравнения Шрёдингера следуют два уравнения, которым должны удовлетворять эти функции:

${\displaystyle A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\;}$

${\displaystyle B'(x)+2A(x)B(x)=0.\;}$

Мы хотим рассмотреть квазиклассическое приближение, чтобы решить эти уравнения. Это означает, что мы разложим каждую функцию как ряд по степеням ${\displaystyle \hbar }$. Из уравнений мы можем видеть, что степенной ряд должен начинаться со слагаемого ${\displaystyle \hbar ^{-1}}$, чтобы удовлетворить действительной части уравнения. Но поскольку нам нужен хороший классический предел, мы также хотим начать разложение со столь высокой степени постоянной Планка, насколько это возможно.

${\displaystyle A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{i=0}^{\infty }\hbar ^{i}A_{i}(x)}$

${\displaystyle B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{i=0}^{\infty }\hbar ^{i}B_{i}(x)}$

С точностью до первого порядка разложения уравнения запишутся в виде

${\displaystyle A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)}$

${\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0}$

Если амплитуда меняется слабее, чем фаза, то можно положить ${\displaystyle A_{0}(x)=0}$ и получить

${\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}}$

Это верно только если полная энергия больше потенциальной энергии. После аналогичных вычислений для следующего порядка малости получим

С другой стороны, если фаза меняется медленно по сравнению с амплитудой, мы положим ${\displaystyle B_{0}(x)=0}$ и получим

${\displaystyle A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}}$

Это верно, если потенциальная энергия больше полной. Для следующего порядка малости получим

${\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int dx{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}$

Это очевидно, что из-за знаменателя оба из этих приближённых решений расходятся около классической точки поворота, где ${\displaystyle E=V(x)}$ и не может быть правильной. Мы имеем приблизительные решения далеко от потенциального барьера и ниже потенциального холма. Далеко от потенциального барьера частицы ведут себя подобно свободной волне — фаза осциллирует. Ниже потенциального барьера частица подвергается экспоненциальным изменениям в амплитуде.

Чтобы полностью решить задачу, мы должны найти приблизительные решения всюду и приравнять коэффициенты, чтобы сделать глобальное приблизительное решение. Мы должны всё же приблизить решение около классических точек поворота.

Обозначим классическую точку поворота ${\displaystyle x_{1}}$. Вблизи ${\displaystyle E=V(x_{1})}$, можно разложить ${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$ в ряд.

${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{1})+U_{2}(x-x_{1})^{2}+\cdots }$

Для первого порядка получим

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}(x-x_{1})\Psi (x)}$

Решение его вблизи точек поворота выглядит следующим образом:

${\displaystyle \Psi (x)={\sqrt {x-x_{1}}}\left(C_{+{\frac {1}{3}}}J_{+{\frac {1}{3}}}\left({\frac {2}{3}}{\sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{\frac {1}{3}}\right)+C_{-{\frac {1}{3}}}J_{-{\frac {1}{3}}}\left({\frac {2}{3}}{\sqrt {U_{1}}}(x-x_{1})^{\frac {1}{3}}\right)\right)}$

Используя асимптотики данного решения, можно найти отношения между ${\displaystyle C,\theta }$ и ${\displaystyle C_{+},C_{-}}$:

${\displaystyle C_{+}={\frac {1}{2}}C\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}}$

${\displaystyle C_{-}=-C\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}}$

Что завершает построение глобального решения.

• Покровский В. Л. Квазиклассическое приближение. // Физическая энциклопедия. — Т. 2. — М.: СЭ, 1990. — С. 252-255.
• ВКБ-метод. // Физическая энциклопедия. — Т. 1. — М.: СЭ, 1988. — С. 285.
• Фрёман H., Фрёман П. У. ВКБ-приближение. — М.: Мир, 1967. — 166 с.
• Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 296 с.