Соотношения Мэнли — Роу

В общем виде соотношения Мэнли — Роу могут быть записаны следующим образом:

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {m\cdot P_{mn}}{m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2}}}=0,\ \ \ m\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\cdot P_{mn}}{m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2}}}=0,\ \ \ n\in \mathbb {Z} }$

где

• ${\displaystyle P_{mn}}$ — изменение мощности на комбинационной частоте ${\displaystyle m\cdot \omega _{\text{H}}+n\cdot \omega _{\text{C}}}$,
• ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$ — частоты исходных колебаний (волн). Причём отношение ${\displaystyle {\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$ должно быть иррационально, поскольку в противном случае, возможно выразить все частоты как гармоники одной фундаментальной частоты.

Первое из соотношений Мэнли — Роу представляет собой закон сохранения числа квантов, которые в зависимости от природы взаимодействующих волн представляют собой фотоны, фононы, плазмоны, магноны или другие взаимодействующие квазичастицы.

Можно вычислить следующие величины:

• ${\displaystyle A_{mn}={\frac {|P_{mn}|}{\hbar \cdot (m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2})}}}$ — число квантов комбинационной частоты;
• ${\displaystyle m\cdot A_{m,n}}$ — число квантов частоты ${\displaystyle \omega _{1}}$, затраченных (${\displaystyle P_{mn}>0}$) или образованных (${\displaystyle P_{mn}<0}$) при возбуждении комбинационной частоты;
• ${\displaystyle n\cdot A_{m,n}}$ — число квантов частоты ${\displaystyle \omega _{2}}$, затраченных (${\displaystyle P_{mn}>0}$) или образованных (${\displaystyle P_{mn}<0}$) при возбуждении комбинационной частоты.

Рассмотрим соотношения Мэнли — Роу в частном случае трёхчастотного взаимодействия. Пусть, например, комбинационной является разностная частота ${\displaystyle \omega _{0}=\omega _{1}-\omega _{2}}$. Тогда система имеет три частоты:

• ${\displaystyle \omega _{0}\ (m=1,n=-1)}$
• ${\displaystyle \omega _{1}\ (m=1,n=0)}$
• ${\displaystyle \omega _{2}\ (m=0,n=1)}$

В этом случае соотношения Мэнли — Роу принимают вид:

${\displaystyle {\frac {P_{0,1}}{\omega _{2}}}={\frac {P_{1,-1}}{\omega _{0}}}=-{\frac {P_{1,0}}{\omega _{1}}}}$

Пусть источники или стоки квантов происходят на частотах

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}\omega _{i},\ \ {\frac {\omega _{i}}{\omega _{j}}}\notin \mathbb {Q} }$

В этом случае будем иметь систему из ${\displaystyle N}$ соотношений:

${\displaystyle \sum _{m_{1},m_{2},\ldots ,m_{N}}{\frac {m_{i}\cdot P_{m_{1}m_{2}\ldots m_{N}}}{m_{1}\cdot \omega _{1}+m_{2}\cdot \omega _{2}+\ldots +m_{N}\cdot \omega _{N}}}=0,\ \ \ i={\overline {1,N}}}$

• Солитон

• Соотношения Мэнли — Роу — статья из Физической энциклопедии