Фонон

Концепция фонона оказалась очень плодотворной в физике твёрдого тела. В кристаллических материалах атомы активно взаимодействуют между собой, и рассматривать в них такие термодинамические явления, как колебания отдельных атомов, затруднительно — получаются огромные системы из триллионов связанных между собой линейных дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых невозможно. Колебания атомов кристалла заменяются распространением в веществе системы звуковых волн, квантами которых и являются фононы. Фонон принадлежит к числу бозонов[1] и описывается статистикой Бозе — Эйнштейна. Спин фонона принимает значение 0 (в единицах ${\displaystyle \hbar }$). Фононы и их взаимодействие с электронами играют фундаментальную роль в современных представлениях о физике сверхпроводников, процессах теплопроводности, процессах рассеяния в твёрдых телах. Модель кристалла металла можно представить как совокупность гармонически взаимодействующих осцилляторов, причём наибольший вклад в их среднюю энергию дают колебания низких частот, соответствующие упругим волнам, квантами которых и являются фононы.

В простейшем случае одномерного кристалла, состоящего из одинаковых атомов массы ${\displaystyle m}$, равновесные положения которых определяются вектором решётки:

${\displaystyle \mathbf {n} =n\mathbf {a} ,}$

где ${\displaystyle n=1,2,...,N}$. Предположим, что поперечные и продольные смещения атомов независимы. Пусть ${\displaystyle \xi _{n}}$ — одно из таких смещений атома, занимающего узел ${\displaystyle n}$. В потенциальной энергии ${\displaystyle U}$ смещений нейтральных атомов из положений равновесия можно учитывать только взаимодействия соседних атомов. Тогда потенциальная энергия:

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}\gamma \sum _{n=1}^{N}(\xi _{n}-\xi _{n-1})^{2}.}$

Кинетическая энергия выражается через скорости смещений ${\displaystyle {\dot {\xi }}_{n}}$ с помощью функции:

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}m\sum _{n=1}^{N}{\dot {\xi }}_{n}^{2}}$.

Введём циклические условия:

${\displaystyle \xi _{n}=\xi _{n+Na}}$.

Одномерной решётке соответствует зона Бриллюэна в ${\displaystyle \mathbf {k} }$-пространстве с границами:

${\displaystyle -\pi \leq \mathbf {k} a<\pi }$.

Внутри этой зоны располагаются ${\displaystyle N}$ неэквивалентных волновых векторов:

${\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {2\pi \mu }{Na^{2}}}\mathbf {a} ,}$

где ${\displaystyle \mu =0,\pm 1,\pm 2,...,\pm {\frac {N}{2}}}$. От смещений отдельных атомов ${\displaystyle \xi _{n}}$ удобно перейти к новым обобщённым координатам ${\displaystyle A_{k}}$, которые характеризуют коллективные движения атомов, соответствующие определённым значениям ${\displaystyle \mathbf {k} }$. Для этого введём преобразование:

${\displaystyle \xi _{n}=N^{-1/2}\sum _{k=1}A_{k}\exp(i\mathbf {k} \mathbf {n} ).}$

Новые переменные должны удовлетворять условию:

${\displaystyle A_{k}=A_{-k}^{*}}$.

Таким образом, потенциальная

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}m\sum _{k=1}\Omega ^{2}(\mathbf {k} )A_{k}A_{-k}}$

и кинетическая энергия

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}m\sum _{k=1}{\dot {A}}_{k}{\dot {A}}_{-k}}$,

где

${\displaystyle m\Omega ^{2}(\mathbf {k} )=m\Omega ^{2}(\mathbf {-k} )=4\gamma \sin ^{2}{\frac {\mathbf {k} \mathbf {a} }{2}}}$

выражаются через новые коллективные переменные и их временные производные. Нас в дальнейшем будет интересовать частота фононных колебаний в виде:

${\displaystyle \Omega (\mathbf {k} )=\Omega (\mathbf {-k} )=2{\sqrt {\frac {\gamma }{m}}}|\sin {\frac {\mathbf {k} \mathbf {a} }{2}}|.}$

Зная частоту фононов как функцию ${\displaystyle \mathbf {k} }$, можно вычислить фазовую ${\displaystyle V_{f}}$ и групповую ${\displaystyle V_{g}}$ скорости соответствующих элементарных возбуждений:

${\displaystyle V_{f}={\frac {\Omega (\mathbf {k} )}{k}}={\frac {2}{k}}{\sqrt {\frac {\gamma }{m}}}|\sin {\frac {\mathbf {k} \mathbf {a} }{2}}|,}$

${\displaystyle V_{g}={\frac {d\Omega (\mathbf {k} )}{dk}}=a{\sqrt {\frac {\gamma }{m}}}|\cos {\frac {\mathbf {k} \mathbf {a} }{2}}|.}$

• Звук

• Соловьев В. Г. Теория атомного ядра: Квазичастицы и фононы. — М.: Энергоатомиздат, 1989. — 304 с. — ISBN 5-283-03914-5.
• Давыдов А. С. Теория твёрдого тела. — М., 1976. — 636 с.
• Feynman, Richard P. Statistical Mechanics, A Set of Lectures : [англ.]. — Reading, Massachusetts : The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., 1972. — С. 366. — ISBN Clothbound: 0-8053-2508-5, Paperbound: 0-8053-2509-3.
• Каганов М. И. «Квазичастица». Что это такое?. — М.: Знание, 1971. — 75 с. — 12 500 экз.
• Фейнман Р. Статистическая механика. — Мир, 1975. — 407 с.