Модель Дебая
В термодинамике и физике твёрдого тела модель Дебая — метод, развитый Дебаем в 1912 г. для оценки фононного вклада в теплоёмкость твёрдых тел. Модель Дебая рассматривает колебания кристаллической решётки как газ квазичастиц — фононов. Эта модель правильно предсказывает теплоёмкость при низких температурах, которая, согласно закону Дебая, пропорциональна . В пределе высоких температур молярная теплоёмкость, согласно закону Дюлонга — Пти, стремится к , где — универсальная газовая постоянная.
Дебай при построении своей теории принял следующие предположения:[1]
- Твёрдое тело представляет собой непрерывную среду.
- Эта среда упруго изотропна.
- В среде отсутствует дисперсия.
- Упругие свойства среды не зависят от температуры.
При тепловом равновесии энергия набора осцилляторов с различными частотами равна сумме их энергий:
где — число мод нормальных колебаний на единицу длины интервала частот, — количество осцилляторов в твёрдом теле, колеблющихся с частотой .
Функция плотности в трёхмерном случае имеет вид:
где — объём твёрдого тела, — скорость звука в нём.
Значение квантовых чисел вычисляются по формуле Планка:
Тогда энергия запишется в виде:
где — температура Дебая, — число атомов в твёрдом теле, — постоянная Больцмана.
Дифференцируя внутреннюю энергию по температуре, получим:
Молярная теплоёмкость твёрдого тела в теории Дебая
В модели Дебая учтено, что теплоёмкость твёрдого тела — это параметр равновесного состояния термодинамической системы. Поэтому волны, возбуждаемые в твёрдом теле элементарными осцилляторами, не могут переносить энергию. То есть они являются стоячими волнами. Если твёрдое тело выбрать в виде прямоугольного параллелепипеда с рёбрами , , , то условия существования стоячих волн можно записать в виде:
где — целые числа.
Перейдём к пространству, построенному на волновых векторах. Поскольку , то
Таким образом, в твёрдом теле могут существовать осцилляторы, с частотами, изменяющимися дискретно. Одному осциллятору в -пространстве соответствует ячейка с объёмом
где
В -пространстве осцилляторам с частотами в интервале соответствует один октант сферического слоя с объёмом
В этом объёме количество осцилляторов равно
Учтём, что каждый осциллятор генерирует 3 волны: 2 поперечные и одну продольную. При этом .
Найдём внутреннюю энергию одного моля твёрдого тела. Для этого запишем взаимосвязь между волновым числом, скоростью распространения волн и частотой:
Колебания в твёрдом теле ограничены максимальным значением частоты . Определим граничную частоту из условия:
Отсюда внутренняя энергия одного моля:
где — средняя энергия квантового осциллятора (см. модель теплоёмкости Эйнштейна),
— постоянная Больцмана,
— число Авогадро.
В последнем выражении сделаем следующую замену переменных:
; ; ;
Теперь для получим
Наконец, для молярной теплоёмкости получаем
Легко проверить, что при условии теплоёмкость , а при условии теплоёмкость
Интеграл может быть взят методами теории функций комплексной переменной или с использованием дзета-функции Римана. Таким образом, теория Дебая соответствует результатам экспериментов.
Примечания
- Блатт Ф. Физика электронной проводимости в твёрдых телах. - М., Мир, 1971. - c. 64
Литература
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2005. — 616 с. — («Теоретическая физика», том V). — ISBN 5-9221-0054-8.