Полярон

Неподвижный электрон, помещённый в кристалл, поляризует кристаллическую решётку. Энергия поляризации равна

${\displaystyle E_{p}\approx -{\frac {e^{2}}{\varepsilon ^{*}a}},}$

где ${\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon ^{*}}}={\frac {1}{\varepsilon ^{\infty }}}-{\frac {1}{\varepsilon ^{0}}}}$, а ${\displaystyle \varepsilon ^{0}}$ и ${\displaystyle \varepsilon ^{\infty }}$ — статическая и высокочастотная диэлектрические проницаемости соответственно. При характерных значениях ${\displaystyle \varepsilon ^{0}\approx 10}$, ${\displaystyle \varepsilon ^{\infty }\approx 3}$, ${\displaystyle a\approx 0{,}5}$ нм энергия поляризации ${\displaystyle E_{p}}$ равна ${\displaystyle \approx 0{,}3}$ эВ.

Суммарная энергия полярона малого радиуса равна

${\displaystyle E_{p}+V=-{\frac {e^{2}}{r_{p}\varepsilon ^{*}}}}$

где ${\displaystyle V}$ — потенциальная энергия локализованного электрона, а ${\displaystyle r_{p}={\frac {\pi ^{2}\varepsilon ^{*}\hbar ^{2}}{m^{*}e^{2}}}}$ — характерный радиус полярона.

За счёт поляризации ионов решётки возбуждаются оптические фононы, поэтому эффективность поляризации можно характеризовать константой электрон-фононной связи ${\displaystyle \lambda }$, характеризующая число оптических фононов, возбуждённых в решётке. Если ${\displaystyle W}$ — ширина электронной зоны, характеризующая кинетическую энергию электронов, то полярон может образоваться лишь при условии ${\displaystyle E_{p}>W}$, и температура, ниже которой образуется полярон, задаётся соотношением

${\displaystyle T^{*}\approx {\frac {|E_{p}-W|}{k_{B}}}.}$

Поэтому образование поляронов возможно только в достаточно узкозонных кристаллах с характерным значением ${\displaystyle W\approx 0{,}2}$ эВ. При образовании поляронов электронная зона сильно сужается и образуется поляронная зона шириной ${\displaystyle W_{p}}$, которую можно оценить по формуле

${\displaystyle W_{p}=W\exp(-\lambda ).}$

При типичных энергиях полярона ${\displaystyle E_{p}\approx 0{,}3}$ эВ и оптического фонона ${\displaystyle \hbar \omega _{0}\approx 0{,}3}$ эВ величина ${\displaystyle \lambda \approx 10}$ и ширина поляронной зоны ${\displaystyle W_{p}\approx W\exp(-10)=0{,}2e^{-10}}$ эВ, что на четыре порядка меньше исходной электронной зоны. Поэтому такая узкая зона реализуется только в идеальных совершенных кристаллах, любые нарушения кристалличности приводят к локализации таких поляронов.

При ${\displaystyle k_{B}T>\hbar \omega _{0}}$ полярон малого радиуса перемещается термически активированными скачками с энергией активации порядка энергии полярона. Подвижность поляронов растёт приблизительно экспоненциально с ростом температуры[8].

В отличие от поляронов малого радиуса, поляроны большого радиуса образуются в ионных кристаллах с широкой зоной проводимости ${\displaystyle \displaystyle {W\gg E_{p}}}$, и константа электрон-фононной связи определяется выражением

${\displaystyle \lambda ={\frac {e^{2}{\sqrt {m^{*}\omega _{0}}}}{2\omega _{0}\varepsilon \hbar ^{3/2}}}\approx \mathrm {const} {\sqrt {\frac {\omega _{0}}{W}}}.}$

При ${\displaystyle \displaystyle {\lambda >10}}$ образуется полярон большого радиуса, а при слабой электрон-фононной связи (${\displaystyle \lambda <1}$) электрон поляризует решётку, но не локализуется в созданной им поляризационной яме. Расчёты дают выражения для массы и энергии полярона большого радиуса:

${\displaystyle m_{p}={\frac {m^{*}}{1-\lambda /6}},\ E_{p}=-\lambda \omega _{0}.}$

Для реальных кристаллов наиболее интересна область промежуточных значений ${\displaystyle 1<\lambda <10}$. При этих значениях нельзя получить аналитических выражений, но численные расчёты показывают, что предыдущие две формулы справедливы до ${\displaystyle \lambda \approx 6}$. Полная энергия полярона большого радиуса равна

${\displaystyle E_{0}=-{\frac {e^{2}}{r_{p}\varepsilon ^{*}}},}$

что в два раза меньше, чем аналогичная энергия для полярона малого радиуса[9].