Эффективная масса

Эффекти́вная ма́сса — величина, имеющая размерность массы и применяемая для удобного описания движения частицы в периодическом потенциале кристалла. Можно показать, что электроны и дырки в кристалле реагируют на электрическое поле так, как если бы они свободно двигались в вакууме, но с некой эффективной массой, которую обычно определяют в единицах массы электрона $m_{0}$ (9,11×10⁻³¹ кг). Эффективная масса электрона в кристалле, вообще говоря, отлична от массы электрона в вакууме и может быть как положительной, так и отрицательной[1].

Понятие эффективной массы

Изотропный вариант

Если закон дисперсии $E=E({\vec {k}})$ электронов в конкретном кристаллическом веществе таков (или с приемлемой точностью может считаться таким), что энергия $E$ зависит только от модуля волнового вектора $k$ , то эффективной массой электрона, по определению, является величина[2]

m^{*}=\hbar ^{2}/\left[{{d^{2}k} \over {dE^{2}}}\right]

,

где $\hbar$ — постоянная Планка-Дирака.

Иногда в целях радикального упрощения этим приближением ограничиваются, как если бы изотропная ситуация была единственной возможной.

Физический смысл

Скорость движения электрона в кристалле равна групповой скорости электронных волн и определяется как

v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {1}{\hbar }}{\frac {dE}{dk}}

.

Здесь $\omega$ — частота. Дифференцируя $v_{g}$ по времени, определим ускорение электрона:

a={\frac {dv_{g}}{dt}}={\frac {1}{\hbar }}{\frac {d^{2}E}{dk^{2}}}{\frac {dk}{dt}}

.

Сила, действующая на электрон в кристалле, составляет

F={\frac {dp}{dt}}=\hbar {\frac {dk}{dt}}

,

где $p$ — импульс. Из двух последних выражений получается

a={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {d^{2}E}{dk^{2}}}F={\frac {F}{m^{*}}}

,

откуда и виден смысл величины $m^{*}$ как некоей «массы».

Типичное поведение

Для свободной частицы закон дисперсии квадратичен и, таким образом, эффективная масса является постоянной и равной массе покоя электрона $m_{0}$ .

В кристалле ситуация более сложна и закон дисперсии отличается от квадратичного. Тем не менее, кривая закона дисперсии $E({\vec {k}})$ вблизи своих экстремумов часто неплохо аппроксимируется параболой — и тогда эффективная масса $m^{*}$ также будет константой, хотя и отличной от $m_{0}$ . При этом $m^{*}$ может оказаться и положительной (вблизи дна зоны проводимости), и отрицательной (вблизи потолка валентной зоны).

Далеко от экстремумов эффективная масса, как правило, сильно зависит от энергии $E$ (формулировка «зависит от энергии» уместна только для изотропного случая), и тогда оперирование ею перестаёт приносить какие-либо удобства.

Анизотропия массы

В общем случае эффективная масса зависит от направления в кристалле и является тензором. Принято говорить о тензоре обратной эффективной массы, его компоненты находятся из закона дисперсии[3][4] $E=E({\vec {k}})$ :

\left({\frac {1}{m^{*}}}\right)_{i,j}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}

,

где ${\vec {k}}$ — волновой вектор с проекциями $k_{x}$ , $k_{y}$ , $k_{z}$ на оси декартовой системы координат. Тензорная природа эффективной массы иллюстрирует тот факт, что в кристаллической решётке электрон движется как квазичастица, параметры движения которой зависят от направления относительно кристаллографических осей кристалла. При этом значения $(1/m^{*})_{i,j}$ зависят не от энергии, а от состояния, задаваемого вектором ${\vec {k}}$ .

Есть и другие подходы для вычисления эффективной массы электрона в кристалле[5].

Как и в изотропном приближении, использование тензора обратной эффективной массы в основном ограничено областями вблизи экстремумов функции $E({\vec {k}})$ . Вне этих областей — как, например, в случае анализа поведения популяции горячих электронов — рассматриваются непосредственно зависимости $E({\vec {k}})$ , которые табулируются.

Величина для некоторых полупроводников

Характерные значения эффективной массы составляют от долей до единиц $m_{0}$ , чаще всего около $0.5m_{0}$ .

В таблице указана[6][7] эффективная масса электронов ( $m_{e}^{*}$ ) и дырок ( $m_{h}^{*}$ ) для важнейших полупроводников — простых веществ IV группы и бинарных соединений A^IIIB^V и A^IIB^VI. Все значения представлены в единицах массы свободного электрона $m_{0}$ .


Материал	$m_{e}^{*}$	$m_{h}^{*}$
Группа IV
Si (4,2 K)	1,08	0,56
Ge	0,55	0,37
A^IIIB^V
GaAs	0,067	0,45
InSb	0,013	0,6
A^IIB^VI
ZnSe	0,17	1,44
ZnO	0,19	1,44

На этом сайте приводится температурная зависимость эффективной массы для кремния.

Экспериментальное определение

Традиционно эффективные массы носителей измерялись методом циклотронного резонанса, в котором измеряется поглощение полупроводника в микроволновом диапазоне спектра в зависимости от индукции магнитного поля $B$ . Когда микроволновая частота равняется циклотронной частоте $\omega _{c}={\frac {eB}{m^{*}}},$ в спектре наблюдается острый пик. В последние годы эффективные массы обычно определялись из измерения зонной структуры с использованием таких методов, как фотоэмиссия с угловым разрешением (ARPES), или более прямым методом, основанным на эффекте де Гааза — ван Альфена.

Эффективные массы могут также быть оценены при использовании коэффициента γ из линейного слагаемого низкотемпературного электронного вклада в теплоёмкость при постоянном объёме $c_{v}.$ Теплоёмкость зависит от эффективной массы через плотность состояний на уровне Ферми.

Значимость эффективной массы

Как показывает таблица, полупроводниковые соединения A^IIIB^V, такие как GaAs и InSb, имеют намного меньшие эффективные массы, чем полупроводники из четвёртой группы периодической системы — кремний и германий. В самой простой теории электронного транспорта Друде дрейфовая скорость носителей обратно пропорциональна эффективной массе: ${\vec {v}}={\begin{Vmatrix}\mu \end{Vmatrix}}\cdot {\vec {E}},$ где ${\begin{Vmatrix}\mu \end{Vmatrix}}={\frac {e\tau }{\begin{Vmatrix}m^{*}\end{Vmatrix}}}$ , $\tau$ — время релаксации по импульсам и $e$ — заряд электрона. Быстродействие интегральных микросхем зависит от скорости носителей, и, таким образом, малая эффективная масса — одна из причин того, что GaAs и другие полупроводники группы A^IIIB^V используются вместо кремния в приложениях, где требуется широкая полоса пропускания.

В случае переноса электронов и дырок через тонкий полупроводниковый или диэлектрический слой посредством туннельного эффекта эффективная масса в этом слое влияет на коэффициент прохождения (уменьшение массы влечёт увеличение коэффициента прохождения) и, следовательно, на ток.

Эффективная масса плотности состояний

Поведение плотности состояний электронов и дырок вблизи краёв зон аппроксимируется формулами

\rho _{e}(E)=4\pi \left({\frac {2m_{dc}}{h^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {E-E_{c}}},\qquad \rho _{h}(E)=4\pi \left({\frac {2m_{dv}}{h^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {E_{v}-E}}

,

где $E_{v}$ и $E_{v}$ — энергии краёв валентной зоны и зоны проводимости, соответственно, $h$ — постоянная Планка. Входящие сюда величины $m_{dv}$ , $m_{dc}$ носят название эффективных масс плотности состояний. Для изотропного параболического закона дисперсии они совпадают с эффективными массами $m^{*}$ (раздельно для электронов и дырок), а в более сложных анизотропных случаях находятся численно, с усреднением по направлениям.

Обобщения

Понятие эффективной массы в физике твёрдого тела используется не только применительно к электронам и дыркам[3]. Оно обобщается на другие квазичастицы (типы возбуждений), такие как фононы, фотоны или экситоны, с теми же формулами для расчёта (только подставляются законы дисперсии, соответственно, для фононов и так далее). Тем не менее, основным применением термина всё же является именно кинетика электронов и дырок в кристаллах.

Ссылки

NSM archive
Pastori Parravicini, G. Electronic States and Optical Transitions in Solids (англ.). — Pergamon Press, 1975. Книга содержит исчерпывающее, но доступное обсуждение темы с обширным сравнением между теорией и экспериментом.

Примечания

Епифанов, 1971, с. 137.
Епифанов, 1971, с. 136.
Физический энциклопедический словарь, статья «Эффективная масса» — М.: Советская энциклопедия. под ред. А. М. Прохорова. 1983.
Askerov, B. M. Electron Transport Phenomena in Semiconductors, 5-е изд (англ.). — Singapore: World Scientific, 1994. — P. 416.
Пекар С. И. Электроны проводимости в кристаллах // Проблемы теоретической физики. Сборник, посвящённый Николаю Николаевичу Боголюбову в связи с его шестидесятилетием. — М., Наука, 1969. — Тираж 4000 экз. — c. 349—355
Sze S.M. Physics of Semiconductor Devices (англ.). — John Wiley & Sons, 1981. — (Wiley-Interscience publication). — ISBN 9780471056614.
Harrison W.A. Electronic Structure and the Properties of Solids: The Physics of the Chemical Bond (англ.). — Dover Publications, 1989. — (Dover Books on Physics). — ISBN 9780486660219.

Литература

Епифанов Г. И. Физические основы микроэлектроники. — М.: Советское радио, 1971. — 376 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_1be5d21e92403e26-1] Епифанов, 1971, с. 137.

[_1be5d21e92403e27-2] Епифанов, 1971, с. 136.

[fes-3] Физический энциклопедический словарь, статья «Эффективная масса» — М.: Советская энциклопедия. под ред. А. М. Прохорова. 1983.

[4] Askerov, B. M. Electron Transport Phenomena in Semiconductors, 5-е изд (англ.). — Singapore: World Scientific, 1994. — P. 416.

[5] Пекар С. И. Электроны проводимости в кристаллах // Проблемы теоретической физики. Сборник, посвящённый Николаю Николаевичу Боголюбову в связи с его шестидесятилетием. — М., Наука, 1969. — Тираж 4000 экз. — c. 349—355

[6] Sze S.M. Physics of Semiconductor Devices (англ.). — John Wiley & Sons, 1981. — (Wiley-Interscience publication). — ISBN 9780471056614.

[7] Harrison W.A. Electronic Structure and the Properties of Solids: The Physics of the Chemical Bond (англ.). — Dover Publications, 1989. — (Dover Books on Physics). — ISBN 9780486660219.