Уравнение Гамильтона — Якоби

Уравнение Гамильтона — Якоби немедленно следует из того факта, что для любой производящей функции ${\displaystyle S(q,p',t)}$ (пренебрегая индексами) уравнения движения принимают один и тот же вид для ${\displaystyle H(q,p,t)}$ и ${\displaystyle H'(q',p',t)}$ при следующем преобразовании

${\displaystyle (1)\quad {\partial S \over \partial q}=p,\quad {\partial S \over \partial p'}=q',\quad H'=H+{\partial S \over \partial t}.}$

Новые уравнения движения становятся

${\displaystyle (2)\quad {\partial H' \over \partial q'}=-{dp' \over dt},\quad {\partial H' \over \partial p'}={dq' \over dt}.}$

Уравнение Гамильтона — Якоби появляется из специфической производящей функции S, которая делает H' тождественной нулю. В этом случае все его производные зануляются, и

${\displaystyle (3)\quad {dp' \over dt}={dq' \over dt}=0.}$

Таким образом, в штрихованной системе координат система совершенно стационарна в фазовом пространстве. Однако мы еще не определили, при помощи какой производящей функции S достигается преобразование в штрихованную систему координат. Мы используем тот факт, что

${\displaystyle H'(q',p',t)=H(q,p,t)+{\partial S \over \partial t}=0.}$

Поскольку уравнение (1) даёт ${\displaystyle p=\partial S/\partial q,}$ можно записать

${\displaystyle H\left(q,{\partial S \over \partial q},t\right)+{\partial S \over \partial t}=0,}$

что является уравнением Гамильтона — Якоби.

Уравнение Гамильтона — Якоби часто решают методом разделения переменных. Пусть некоторая координата (для определённости будем говорить о ${\displaystyle q_{1}}$) и соответствующий ей импульс ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{1}}}}$ входят в уравнение в форме

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}+H\left(f_{1}\left(q_{1},{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}}\right),q_{2},\ldots ,q_{n},{\frac {\partial S}{\partial q_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial S}{\partial q_{n}}}\right)=0.}$

Тогда можно положить

${\displaystyle f_{1}\left(q_{1},{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}}\right)=\alpha _{1}}$

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{1}}}=g_{1}(q_{1},\alpha _{1}),}$

где ${\displaystyle \alpha _{1}}$ — произвольная постоянная, ${\displaystyle g_{1}}$ — обратная функция, и решать уравнение Гамильтона — Якоби уже с меньшим числом переменных. Если процесс можно продолжить по всем переменным, то решение уравнения примет вид

${\displaystyle S=-\int H(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})dt+\int g_{1}(q_{1},\alpha _{1})dq_{1}+\int g_{2}(q_{2},\alpha _{1},\alpha _{2})dq_{2}+\ldots +\int g_{n}(q_{n},\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})dq_{n}+k,}$

где ${\displaystyle \alpha _{i}}$ — произвольные постоянные, ${\displaystyle k}$ — константа интегрирования. Напомним, что при этом ${\displaystyle S}$ является функцией конечной точки ${\displaystyle (q_{1},\dots ,q_{n})}$. Так как действие задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы, то его производные по координатам — это импульсы в новой системе координат, поэтому они должны сохраняться:

${\displaystyle \beta _{i}={\partial S \over \partial \alpha _{i}}(\mathbf {q} ,\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n},t).}$

Совместно с уравнениями на импульсы это определяет движение системы.

Также если в голономной системе с ${\displaystyle s}$ степенями свободы кинетическая энергия ${\displaystyle T}$ имеет вид ${\displaystyle T={\frac {1}{2}}f\sum _{m=1}^{s}A_{m}({\dot {q}}_{m}^{2})}$ и потенциальная энергия ${\displaystyle \Pi }$ имеет вид ${\displaystyle \Pi ={\frac {1}{f}}f\sum _{m=1}^{s}\Pi _{m}(q_{m})}$, где ${\displaystyle f=\sum _{m=1}^{s}F_{m}(q_{m})}$, то интегрирование уравнения Гамильтона—Якоби приводит к квадратурам (решение можно представить в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них) (Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби).[1]

• Гамильтонова механика
• Уравнения Гамильтона
• Квазиклассическое приближение
• Уравнение Гамильтона — Якоби — Беллмана
• Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби

• Статья в Физической энциклопедии
• Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. 2-е издание М.: Наука, 1966.
• Добронравов В. В. Основы аналитической механики. М.: Высшая школа, 1976.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2004. — 224 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-9221-0055-6.
• Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз. 1965.
• Лич Дж. У. Классическая механика. М.: Иностр. литература, 1961.
• Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
• Парс Л. А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971.
• Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику. — М.: Наука, 1971. — 264 с.