Скорость звука

Уже у античных авторов встречается указание на то, что звук обусловлен колебательным движением тела (Птолемей, Евклид). Аристотель отмечает, что скорость звука имеет конечную величину, и правильно представляет себе природу звука[2]. Попытки экспериментального определения скорости звука относятся к первой половине XVII в. Ф. Бэкон в «Новом органоне» указал на возможность определения скорости звука путём сравнения промежутков времени между вспышкой света и звуком выстрела. Применив этот метод, различные исследователи (М. Мерсенн, П. Гассенди, У. Дерхам, группа учёных Парижской академии наук — Д. Кассини, Ж. Пикар, Гюйгенс, Рёмер) определили значение скорости звука (в зависимости от условий экспериментов, 350—390 м/с).

Теоретически вопрос о скорости звука впервые рассмотрел И. Ньютон в своих «Началах»; он фактически предполагал изотермичность распространения звука, поэтому получил заниженную оценку. Правильное теоретическое значение скорости звука было получено Лапласом[3][4][5][6].

В 2020 г. британские и российские физики впервые рассчитали максимально возможную скорость звука, которая составляет 36 км/с (этот показатель приблизительно вдвое превышает скорость звука в алмазе, самом твёрдом известном материале в мире). Теория предсказывает наибольшую скорость звука в среде твёрдого атомарного металлического водорода, при давлении выше 1 млн атмосфер[7][8].

Скорость звука в однородной жидкости (или газе) вычисляется по формуле:

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {1}{\beta \rho }}}.}$

В частных производных:

${\displaystyle c={\sqrt {-v^{2}\left({\frac {\partial p}{\partial v}}\right)_{s}}}={\sqrt {-v^{2}{\frac {C_{p}}{C_{v}}}\left({\frac {\partial p}{\partial v}}\right)_{T}}},}$

где ${\displaystyle \beta }$ — адиабатическая упругость среды; ${\displaystyle \rho }$ — плотность; ${\displaystyle C_{p}}$ — изобарная теплоёмкость; ${\displaystyle C_{v}}$ — изохорная теплоёмкость; ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle T}$ — давление, удельный объём и температура, ${\displaystyle s}$ — энтропия среды.

Для идеальных газов эта формула выглядит так:

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {\gamma kT}{m}}}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M}}}=\alpha {\sqrt {T}}={\sqrt {\frac {\gamma }{3}}}v}$,

где ${\displaystyle \gamma }$ — показатель адиабаты: 5/3 для одноатомных газов, 7/5 для двухатомных (и для воздуха), 4/3 для многоатомных; ${\displaystyle k}$ — постоянная Больцмана; ${\displaystyle R}$ — универсальная газовая постоянная; ${\displaystyle T}$ — абсолютная температура; ${\displaystyle m}$ — молекулярная масса; ${\displaystyle M}$ — молярная масса, ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {\gamma R}{M}}}}$; ${\displaystyle v}$ — средняя скорость теплового движения частиц газа.

По порядку величины скорость звука в газах близка к средней скорости теплового движения молекул (см. Распределение Максвелла) и в приближении постоянства показателя адиабаты пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры.

Данные выражения являются приближёнными, поскольку основываются на уравнениях, описывающих поведение идеального газа. При больших давлениях и температурах необходимо вносить соответствующие поправки.

Для расчёта сжимаемости многокомпонентной смеси, состоящей из невзаимодействующих друг с другом жидкостей и/или газов, применяется уравнение Вуда. Это же уравнение применимо и для оценки скорости звука в нейтральных взвесях.

Для растворов и других сложных физико-химических систем (например, природный газ, нефть) данные выражения могут давать очень большую погрешность.

Влияние высоты на атмосферную акустику

Плотность и давление плавно уменьшаются с высотой, а температура (красный цвет) - нет. Скорость звука (синий цвет) зависит сложным образом от температуры на высоте и может быть рассчитана исходя из нее, поскольку влияние плотности и давления на скорость звука взаимно компенсируют друг друга. Скорость звука увеличивается с высотой в двух областях стратосферы и термосферы из-за разогрева газа в этих областях.

В атмосфере Земли температура выступает главным фактором, влияющим на скорость звука. Для данного идеального газа с постоянной теплоемкостью и составом скорость звука зависит исключительно от температуры. В таком идеальном случае эффекты пониженной плотности и пониженного давления на высоте нейтрализуют друг друга, за исключением остаточного влияния температуры.

Поскольку температура (и, следовательно, скорость звука) уменьшается с увеличением высоты до 11 км, звук преломляется вверх, удаляясь от слушателей на земле, создавая акустическую тень на некотором расстоянии от источника[9]. Уменьшение скорости звука с высотой называется отрицательным градиентом скорости звука.

Однако выше 11 км в этой тенденции происходят изменения. В частности, в стратосфере на высоте более 20 км скорость звука увеличивается с высотой из-за повышения температуры в результате нагрева озонового слоя. Это дает положительный градиент скорости звука в этой области. Еще одна область положительного градиента наблюдается на очень больших высотах, в слое, называемом термосферой (выше 90 км).

В однородных твёрдых телах могут существовать два типа объёмных волн, отличающихся друг от друга поляризацией колебаний относительно направления распространения волны: продольная (P-волна) и поперечная (S-волна). Скорость распространения первой ${\displaystyle (c_{P})}$ всегда выше, чем скорость второй ${\displaystyle (c_{S})}$:

${\displaystyle c_{P}={\sqrt {\frac {K+{\frac {4}{3}}G}{\rho }}}={\sqrt {\frac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )\rho }}},}$

${\displaystyle c_{S}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}={\sqrt {\frac {E}{2(1+\nu )\rho }}},}$

где ${\displaystyle K}$ — модуль всестороннего сжатия, ${\displaystyle G}$ — модуль сдвига, ${\displaystyle E}$ — модуль Юнга, ${\displaystyle \nu }$ — коэффициент Пуассона. Как и для случая с жидкой или газообразной средой, при расчётах должны использоваться адиабатические модули упругости.

В многофазных средах из-за явлений неупругого поглощения энергии скорость звука, вообще говоря, зависит от частоты колебаний (то есть наблюдается дисперсия скорости). Например, оценка скорости упругих волн в двухфазной пористой среде может быть выполнена с применением уравнений теории Био-Николаевского. При достаточно высоких частотах (выше частоты Био) в такой среде возникают не только продольные и поперечные волны, но также и продольная волна II-рода. При частоте колебаний ниже частоты Био, скорость упругих волн может быть приблизительно оценена с использованием гораздо более простых уравнений Гассмана.

При наличии границ раздела, упругая энергия может передаваться посредством поверхностных волн различных типов, скорость которых отличается от скорости продольных и поперечных волн. Энергия этих колебаний может во много раз превосходить энергию объёмных волн.

В чистой воде скорость звука составляет около 1500 м/с (см. опыт Колладона — Штурма) и увеличивается с ростом температуры. Прикладное значение имеет также скорость звука в солёной воде океана. Скорость звука увеличивается с увеличением солёности и температуры. При увеличении давления скорость также возрастает, то есть, увеличивается с глубиной. Предложено несколько различных эмпирических формул для вычисления скорости распространения звука в воде.

Например, формула Вильсона 1960 года для нулевой глубины даёт следующее значение скорости звука:

${\displaystyle c=1449,2+4,623\ T-0,0546\ T^{2}+1,39(S-35),}$

где ${\displaystyle c}$ — скорость звука в метрах в секунду,

${\displaystyle T}$ — температура в градусах Цельсия,

${\displaystyle S}$ — солёность в промилле.

Иногда также пользуются упрощённой формулой Лероя:

${\displaystyle c=1492,9+3(T-10)-0,006(T-10)^{2}-0,04(T-18)^{2}\ +}$

${\displaystyle +\ 1,2(S-35)-0,01(T-18)(S-35)+z/61,}$

где ${\displaystyle z}$ — глубина в метрах.

Эта формула обеспечивает точность около 0,1 м/с для ${\displaystyle T<+20}$ °C и при ${\displaystyle z<800}$ м.

При температуре +24 °C, солёности 35 промилле и нулевой глубине скорость звука равна около 1532,3 м/c. При ${\displaystyle T=+4}$ °C, глубине 100 м и той же солёности скорость звука равна 1468,5 м/с[10].

Коэффициенты формулы ЮНЕСКО

Коэффициент	Значение	Коэффициент	Значение
${\displaystyle C_{00}}$	1402,388	${\displaystyle A_{02}}$	7,166·10−5
${\displaystyle C_{01}}$	5,03830	${\displaystyle A_{03}}$	2,008·10−6
${\displaystyle C_{02}}$	-5,81090·10−2	${\displaystyle A_{04}}$	-3,21·10−8
${\displaystyle C_{03}}$	3,3432·10−4	${\displaystyle A_{10}}$	9,4742·10−5
${\displaystyle C_{04}}$	-1,47797·10−6	${\displaystyle A_{11}}$	-1,2583·10−5
${\displaystyle C_{05}}$	3,1419·10−9	${\displaystyle A_{12}}$	-6,4928·10−8
${\displaystyle C_{10}}$	0,153563	${\displaystyle A_{13}}$	1,0515·10−8
${\displaystyle C_{11}}$	6,8999·10−4	${\displaystyle A_{14}}$	-2,0142·10−10
${\displaystyle C_{12}}$	-8,1829·10−6	${\displaystyle A_{20}}$	-3,9064·10−7
${\displaystyle C_{13}}$	1,3632·10−7	${\displaystyle A_{21}}$	9,1061·10−9
${\displaystyle C_{14}}$	-6,1260·10−10	${\displaystyle A_{22}}$	-1,6009·10−10
${\displaystyle C_{20}}$	3,1260·10−5	${\displaystyle A_{23}}$	7,994·10−12
${\displaystyle C_{21}}$	-1,7111·10−6	${\displaystyle A_{30}}$	1,100·10−10
${\displaystyle C_{22}}$	2,5986·10−8	${\displaystyle A_{31}}$	6,651·10−12
${\displaystyle C_{23}}$	-2,5353·10−10	${\displaystyle A_{32}}$	-3,391·10−13
${\displaystyle C_{24}}$	1,0415·10−12	${\displaystyle B_{00}}$	-1,922·10−2
${\displaystyle C_{30}}$	-9,7729·10−9	${\displaystyle B_{01}}$	-4,42·10−5
${\displaystyle C_{31}}$	3,8513·10−10	${\displaystyle B_{10}}$	7,3637·10−5
${\displaystyle C_{32}}$	-2,3654·10−12	${\displaystyle B_{11}}$	1,7950·10−7
${\displaystyle A_{00}}$	1,389	${\displaystyle D_{00}}$	1,727·10−3
${\displaystyle A_{01}}$	-1,262·10−2	${\displaystyle D_{10}}$	-7,9836·10−6

Международная стандартная формула, применяемая для определения скорости звука в морской воде известна как формула ЮНЕСКО и описана в работе[11]. Она более сложная, чем простые формулы, приведённые выше, и вместо глубины в неё входит давление как параметр. Оригинальный алгоритм ЮНЕСКО для расчётов по формуле описан в работе N. P. Fofonoff и R. C. Millard[12].

В 1995 году коэффициенты, применяемые в данной формуле были уточнены[13] после принятия международной температурной шкалы 1990 года. Конечная форма формулы ЮНЕСКО имеет следующий вид, входящие в формулу постоянные коэффициенты согласно[13] приведены в таблице:

${\displaystyle c(S,T,P)=C_{w}(T,P)+A(T,P)S+B(T,P)S^{3/2}+D(T,P)S^{2},}$

где ${\displaystyle C_{w}(T,P)=C_{00}+C_{01}T+C_{02}T^{2}+C_{03}T^{3}+C_{04}T^{4}+C_{05}T^{5}\ +}$

${\displaystyle +\ (C_{10}+C_{11}T+C_{12}T^{2}+C_{13}T^{3}+C_{14}T^{4})P\ +}$

${\displaystyle +\ (C_{20}+C_{21}T+C_{22}T^{2}+C_{23}T^{3}+C_{24}T^{4})P^{2}\ +}$

${\displaystyle +\ (C_{30}+C_{31}T+C_{32}T^{2})P^{3},}$

${\displaystyle A(T,P)=A_{00}+A_{01}T+A_{02}T^{2}+A_{03}T^{3}+A_{04}T^{4}\ +}$

${\displaystyle +\ (A_{10}+A_{11}T+A_{12}T^{2}+A_{13}T^{3}+A_{14}T^{4})P\ +}$

${\displaystyle +\ (A_{20}+A_{21}T+A_{22}T^{2}+A_{23}T^{3})P^{2}\ +}$

${\displaystyle +\ (A_{30}+A_{31}T+A_{32}T^{2})P^{3},}$

${\displaystyle B(T,P)=B_{00}+B_{01}T+(B_{10}+B_{11}T)P,}$

${\displaystyle D(T,P)=D_{00}+D_{10}P.}$

Здесь ${\displaystyle T}$ — температура в градусах Цельсия (в диапазоне от 0 °С до 40 °С),

${\displaystyle S}$ — солёность в промилле (в диапазоне от 0 до 40 промилле),

${\displaystyle P}$ — давление в барах (в диапазоне от 0 до 1000 бар).

В библиотеке приводится исходный код алгоритма ЮНЕСКО на языке C#.

• Скорость света
• Эффект Доплера
• Сверхзвуковой самолёт
• Звуковой барьер
• Число Маха
• Гиперзвуковая скорость

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, 2 изд., М., 1953;
• Михайлов И. Г., Соловьев В. А., Сырников Ю. П., Основы молекулярной акустики, М., 1964;
• Колесников А. Е., Ультразвуковые измерения, М., 1970;
• Исакович М. А., Общая акустика, М., 1973.

• Вычисление скорости звука
• Таблицы скоростей звука
• Акустические свойства различных материалов и скорости звука в них