Число Маха

Название число Маха и обозначение М предложил в 1929 году[1] Якоб Аккерет[2]. Ранее в литературе встречалось название число Берстоу[1][3] (Bairstow, обозначение ${\displaystyle {\mathsf {Ba}}}$), а в советской послевоенной научной литературе и, в частности, в советских учебниках 1950-х годов — название число Маиевского[4] (число Маха — Маиевского) по имени основателя русской научной школы баллистики, пользовавшегося этой величиной, вместе с этим обозначение ${\displaystyle {\mathsf {M}}}$ употребляется без специального названия[5].

Число Маха

${\displaystyle {\mathsf {M}}={\frac {v}{a}},}$

где ${\displaystyle v}$ — скорость потока, а ${\displaystyle a}$ — местная скорость звука,

является мерой влияния сжимаемости среды в потоке данной скорости на его поведение: из уравнения состояния идеального газа следует, что относительное изменение плотности (при постоянной температуре) пропорционально изменению давления:

${\displaystyle {\frac {d\rho }{\rho }}\sim {\frac {dp}{p}},}$

из закона Бернулли разность давлений в потоке ${\displaystyle dp\sim \rho v^{2}}$, то есть относительное изменение плотности:

${\displaystyle {\frac {d\rho }{\rho }}\sim {\frac {dp}{p}}\sim {\frac {\rho v^{2}}{p}}.}$

Поскольку скорость звука ${\displaystyle a\sim {\sqrt {p/\rho }}}$, то относительное изменение плотности в газовом потоке пропорционально квадрату числа Маха:

${\displaystyle {\frac {d\rho }{\rho }}\sim {\frac {v^{2}}{a^{2}}}={\mathsf {M}}^{2}.}$

Наряду с числом Маха используются и другие характеристики безразмерной скорости течения газа:

коэффициент скорости

${\displaystyle \lambda ={\frac {v}{v_{K}}}={\sqrt {\frac {\gamma +1}{2}}}{\mathsf {M}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}{\mathsf {M}}^{2}\right)^{-1/2}}$

и безразмерная скорость

${\displaystyle \Lambda ={\frac {v}{v_{\max }}}={\sqrt {\frac {\gamma -1}{2}}}{\mathsf {M}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}{\mathsf {M}}^{2}\right)^{-1/2},}$

где ${\displaystyle v_{K}}$ — критическая скорость,

${\displaystyle v_{\max }}$ — максимальная скорость в газе,

${\displaystyle \gamma ={\frac {c_{p}}{c_{v}}}}$ — показатель адиабаты газа, равный отношению удельных теплоёмкостей газа при постоянных давлении и объёме соответственно.

Важное значение числа Маха объясняется тем, что оно определяет, превышает ли скорость течения газовой среды (или движения в газе тела) скорость звука или нет. Сверхзвуковые и дозвуковые режимы движения имеют принципиальные различия; для авиации это различие выражается в том, что при сверхзвуковых режимах возникают узкие слои быстрого значительного изменения параметров течения (ударные волны), приводящие к росту сопротивления тел при движении, концентрации тепловых потоков у их поверхности и возможности прогорания корпуса тел и тому подобное.

Для понимания числа Маха неспециалистами очень упрощённо можно сказать, что численное выражение числа Маха зависит прежде всего от высоты полёта (чем больше высота, тем ниже скорость звука и выше число Маха). Число Маха — это истинная скорость в потоке вещества (то есть скорость, с которой воздух обтекает, например, самолёт), делённая на скорость звука в этом веществе в этих условиях. У земли скорость, при которой число Маха будет равно 1, будет равна приблизительно 340 м/с (скорость, с использованием которой люди оценивают расстояние до приближающейся грозы, измеряя время от вспышки молнии до дошедших раскатов грома), или 1224 км/ч. На высоте 11 км из-за падения температуры скорость звука ниже — около 295 м/с, или 1062 км/ч.

Такое объяснение не может использоваться для каких бы то ни было математических расчётов скорости или иных математических операций по аэродинамике.

• Число Маха // Физическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1988.
• ГОСТ 25431-82 Таблица динамических давлений и температур торможения воздуха в зависимости от числа Маха