Число Ричардсона

Если плотность тела намного больше плотности среды, то архимедовой силой можно пренебречь, то есть:

${\displaystyle {\frac {\Delta \rho }{\rho }}\,\approx 1}$,

Тогда:

${\displaystyle \operatorname {Ri} \,={\frac {g\,h}{v^{2}}}}$,

Легко заметить, что число Ричардсона в этом случае обратно квадрату числа Фруда:

${\displaystyle \operatorname {Ri} \,={\frac {1}{\operatorname {Fr} ^{2}}}}$.

При рассмотрении температурной конвекции изменение плотности вызвано нагреванием:

${\displaystyle \Delta \rho =\rho \,\beta \,\Delta T}$,

Здесь средой служит та же жидкость или газ, только не нагревшиеся. В этом случае число Ричардсона можно записать как:

${\displaystyle \operatorname {Ri} \,={\frac {g\beta (T_{hot}-T_{0})}{|{\vec {v}}\cdot \nabla {\vec {v}}|}}={\frac {g\,L\,\beta \Delta T}{v^{2}}}={\frac {\operatorname {Gr} }{\operatorname {Re} ^{2}}}}$,

где:

• ${\displaystyle \beta }$ — коэффициент теплового расширения;
• ${\displaystyle \Delta T=T_{hot}-T_{0}}$ — характерная разница температур, например, между горячей стенкой и внешней средой;
• ${\displaystyle |{\vec {v}}|\sim v}$ — характерная скорость;
• ${\displaystyle \operatorname {Gr} }$ — число Грасгофа;
• ${\displaystyle \operatorname {Re} }$ — число Рейнольдса.

Рассмотрим плавное изменение плотности и скорости жидкости по некоторой координате:

${\displaystyle \operatorname {Ri} \,={\frac {g\,d\rho \,dz}{\rho \,(dv)^{2}}}}$.

Домножив на dz/dz и введя частоту Брента-Вяйсяля N, получим:

${\displaystyle \mathrm {Ri} =N^{2}\,\left({\frac {dv}{dz}}\right)^{-2}}$