Адиабатический градиент температуры

Адиабати́ческий градие́нт температу́ры — вертикальный градиент температуры в идеальном газе, находящемся в состоянии гидростатического равновесия в поле силы тяжести в адиабатических условиях.

Для жидкости или газа, находящемся в состоянии механического равновесия в поле силы тяжести справедливо уравнение гидростатики

${\displaystyle {\frac {dp}{dz}}=-\rho g,\qquad (1)}$

где ${\displaystyle p}$ — давление, ${\displaystyle \rho }$ — плотность, ${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения, ${\displaystyle z}$ — вертикальная координата.

Идеальный газ подчиняется уравнению состояния Клайперона — Менделеева

${\displaystyle pM=\rho RT,\qquad (2)}$

где ${\displaystyle M}$ — молярная масса, ${\displaystyle R}$ — газовая постоянная, ${\displaystyle T}$ — абсолютная температура.

Если в газе протекает адиабатический процесс, то для него справедливо также и уравнение Пуассона, которое в дифференциальной форме имеет вид

${\displaystyle {\frac {dp}{p}}=\kappa {\frac {d\rho }{\rho }}={\frac {\kappa }{\left(\kappa -1\right)}}{\frac {dT}{T}},\qquad (3)}$

где ${\displaystyle \kappa ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}}$ — показатель адиабаты, ${\displaystyle C_{p}}$ и ${\displaystyle C_{V}}$ — удельные теплоёмкости газа соответственно в изобарном и изохорном процессах.

Объединяя уравнения (1), (2), (3) и учитывая соотношение Майера, получаем, что

${\displaystyle {\frac {dT}{dz}}=-{\frac {gM}{C_{p}}}.\qquad (4)}$

Полученное значение вертикального градиента температуры и есть «адиабатический градиент температуры».

(В метеорологии направление вертикального градиента принято противоположным относительно направления градиента, определённого в математике. Соответственно величину ${\displaystyle \gamma _{a}={\frac {gM}{C_{p}}}\approx {\text{9.8 K/km}}}$ называют «сухоадиабатический градиент» (температуры).)