Бра и кет

В квантовой механике состояние системы описывается лучом в сепарабельном гильбертовом пространстве, или, что эквивалентно, элементом проективного гильбертового пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}},}$ элементы которого называются «векторы состояния» («кет-векторы») и обозначаются символом ${\displaystyle |\psi \rangle }$.

Каждому кет-вектору ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ставится в соответствие бра-вектор из пространства, сопряжённого к ${\displaystyle {\mathcal {H}},}$ то есть из ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}.}$

Бра-вектор ${\displaystyle \langle \psi |}$ из пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$ определяется соотношением:

${\displaystyle \langle \psi |\colon {\mathcal {H}}\to \mathbb {C} \colon \langle \psi |\left(|\rho \rangle \right)=\left(|\psi \rangle ,\;|\rho \rangle \right)}$, для любого кет-вектора ${\displaystyle |\rho \rangle .}$

Допуская некоторую вольность речи, иногда говорят, что бра-векторы «совпадают» с соответствующими им комплексно-сопряжёнными кет-векторами. При этом обычно происходит отождествление векторов и функционалов над векторами со столбцами или строками координат разложения их по соответствующему базису ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$ или ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$

Скалярное произведение бра-вектора с кет-вектором (а точнее, действие бра-вектора на кет-вектор) записывается в виде ${\displaystyle \langle \varphi |\psi \rangle$ ;} две вертикальные черты «сливаются», а скобки опускаются. Квадрат вектора, по определению гильбертова пространства, неотрицателен: ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle \geqslant 0.}$ На векторы, описывающие состояния системы, накладывается условие нормировки ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1.}$

Если ${\displaystyle A\colon H\to H}$ — линейный оператор из ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle H}$, то действие оператора ${\displaystyle A}$ на кет-вектор ${\displaystyle |\psi \rangle }$ записывается как ${\displaystyle A|\psi \rangle .}$

Для каждого оператора ${\displaystyle A}$ и бра-вектора ${\displaystyle \langle \varphi |}$ вводится функционал ${\displaystyle (\langle \varphi |A)}$ из пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*},}$ то есть бра-вектор, умноженный на оператор ${\displaystyle A}$, который определяется равенством:

${\displaystyle {\bigg (}\langle \varphi |A{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \varphi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )},}$ для любого вектора ${\displaystyle |\psi \rangle .}$

Так как положение скобок не имеет значения, их обычно опускают и пишут просто ${\displaystyle \langle \varphi |A|\psi \rangle .}$

Это выражение называется свёрткой оператора ${\displaystyle A}$ с бра-вектором ${\displaystyle \langle \varphi |}$ и кет-вектором ${\displaystyle |\psi \rangle .}$ Значение этого выражения есть скаляр (комплексное число).

В частности, матричный элемент оператора ${\displaystyle A}$ в определённом базисе (в тензорных обозначениях — ${\displaystyle A_{kl}}$) записывается в обозначениях Дирака как ${\displaystyle \langle k|A|l\rangle ,}$ а среднее значение наблюдаемой на состоянии ${\displaystyle \psi }$ — как ${\displaystyle \langle \psi |A|\psi \rangle .}$

Умножение векторов на оператор (кет-вектора — слева, бра-вектора — справа) даёт векторы того же типа и записывается тем же способом, что принят в линейной алгебре (то есть в том случае, если бра- и кет-векторы отождествляются с векторами-строками и столбцами, а операторы — с квадратными матрицами):

${\displaystyle |{\tilde {\psi }}\rangle =A|\psi \rangle ,}$

${\displaystyle \langle {\tilde {\varphi }}|=\langle \varphi |A.}$

Уравнение Шрёдингера (для стационарного состояния) будет иметь вид:

${\displaystyle H|\psi \rangle =E|\psi \rangle ,}$ где ${\displaystyle H}$ — гамильтониан, а ${\displaystyle E}$ — скаляр (уровень энергии).

В математике употребляется обозначение «эрмитового» скалярного произведения ${\displaystyle \langle \varphi ,\;\psi \rangle }$ в гильбертовом пространстве, имеющее тот же смысл, что и перемножение бра на кет. Однако математики обычно рассматривают угловые скобки как знак операции, а не части обозначения вектора. Традиционное математическое обозначение, в отличие от дираковского, несимметрично — оба вектора предполагаются величинами одного типа, и по первому аргументу из двух операция является антилинейной.

С другой стороны, произведение бра и кет является билинейным, но от двух аргументов разного типа. Сопряжённым к кет-вектору ${\displaystyle i|\psi \rangle }$ будет являться бра-вектор ${\displaystyle -i\langle \psi |}$ (где ${\displaystyle i}$ — мнимая единица). Однако, в квантовой механике эту странность обозначений позволено игнорировать, поскольку квантовое состояние, представляемое вектором, не зависит от его умножения на любые комплексные числа, по модулю равные единице.

Кроме того, использование бра и кет позволяет подчеркнуть отличие состояния ${\displaystyle \psi }$ (записывается без скобок и палок) от конкретных векторов, его представляющих.

В отличие от алгебраических обозначений, где элементы базиса обозначаются как ${\displaystyle e_{k},}$ в бра-кет-обозначениях может указываться только индекс базисного элемента: ${\displaystyle \langle k|\;,\;|l\rangle .}$ Этим они похожи на тензорные обозначения, но, в отличие от последних, позволяют записывать произведения операторов с векторами без использования дополнительных (подстрочных или надстрочных) букв.

Бра и кет можно использовать и в чистой математике для обозначения элементов сопряжённых друг другу линейных пространств. Если, например, ${\displaystyle {\mathcal {H}}=R^{n},}$ то кет-векторы считаются при этом «векторами-столбцами», а бра-векторы — «векторами-строками».

Перемножение бра- и кет-векторов друг на друга и на операторы можно рассматривать как частный случай матричного формализма «строка на столбец». А именно, надо положить кет-векторы матрицами размера ${\displaystyle N\times 1}$, бра-векторы — размера ${\displaystyle 1\times N}$, операторы — размера ${\displaystyle N\times N}$, где ${\displaystyle N}$ — количество состояний квантовой системы (размерность пространства ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$). Матрицы размера 1 × 1 имеют единственный элемент и отождествляются со скалярами. В случае бесконечномерного пространства состояний на «матрицы» (фактически ряды) приходится накладывать дополнительные условия сходимости.

Формула для сопряжённого вектора выглядит следующим образом:

${\displaystyle \langle \psi |={\begin{pmatrix}{\overline {c}}_{1},{\overline {c}}_{2},\ldots ,{\overline {c}}_{N}\end{pmatrix}},}$

где

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{N}\end{pmatrix}}}$

Запись типа ${\displaystyle \langle \ldots \rangle }$ всегда означает скаляр. Бра-вектор всегда имеет скобку слева ${\displaystyle \langle ,}$ кет-вектор — скобку справа ${\displaystyle \rangle .}$ Вводится также произведение в «неестественном» порядке — ${\displaystyle |\varphi \rangle \langle \psi |}$ (аналогичное матричному умножению вектора-столбца на вектор-строку), которое даёт так называемый кет-бра-оператор. Оператор ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \varphi |}$ имеет ранг 1 и является тензорным произведением ${\displaystyle |\psi \rangle }$ и ${\displaystyle \langle \varphi |.}$ Такие операторы часто рассматриваются в теории операторов и квантовых вычислениях. В частности, оператор ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |}$ (при нормировке ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$) является проектором на состояние ${\displaystyle \psi }$, точнее, на соответственное одномерное линейное подпространство в ${\displaystyle {\mathcal {H}}.}$

Имеет место ассоциативность:

${\displaystyle \langle \varphi |\cdot A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A\cdot |\psi \rangle ,}$

${\displaystyle |\psi \rangle \cdot \langle \varphi |{\tilde {\psi }}\rangle \ =\ (|\psi \rangle \langle \varphi |)\cdot |{\tilde {\psi }}\rangle }$

и т. д.

• Белоусов Ю. М. Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. — М.: МФТИ, 2006. — 408 с.
• Давыдов А. С. Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
• Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
• Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 478 с.
• Шпольский Э. В. Атомная физика. — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.
• Ярив А. Введение в теорию и приложения квантовой механики. — М.: Мир, 1984. — 360 с.