Континуальное распределение Гаусса

Рассмотрим поле ${\displaystyle \varphi _{i,j,k,\dots }(x_{1},x_{2},\dots )}$ из некоторого пространства ${\displaystyle E}$, определяемого условиями задачи (как правило, задача определяет условия вроде гладкости и убывания на бесконечности). В общем случае ${\displaystyle \varphi _{i,j,k,\dots }(x_{1},x_{2},\dots )}$ имеет произвольное количество значков и аргументов. Обозначив множество значков поля как ${\displaystyle I=(i,j,k,\dots )}$, а набор аргументов как ${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},\dots )}$, нормальной (Гауссовой) плотностью распределения назовём функционал

${\displaystyle \rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\iint \limits _{\Omega ^{2}}\!\mathrm {d} X_{1}\,\mathrm {d} X_{2}\,\varphi _{I_{1}}(X_{1})\cdot K_{I_{1},I_{2}}(X_{1},X_{2})\cdot \varphi _{I_{2}}(X_{2})\right\}}$,

где ${\displaystyle \Omega }$ — область определения аргументов поля ${\displaystyle X}$, по наборам значков ${\displaystyle I_{1}}$ и ${\displaystyle I_{2}}$ подразумевается суммирование, ${\displaystyle K_{I_{1},I_{2}}(X_{1},X_{2})}$ — ядро некоторого дифференциально-интегрального оператора ${\displaystyle K:E\longrightarrow E}$, а ${\displaystyle C}$ — нормировочная константа.

Это определение, как правило, записывают более коротко, опуская значки, аргументы и интегрирования:

${\displaystyle \rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)\right\}=C\exp \left\{-{\frac {\varphi K\varphi }{2}}\right\}}$.

Пусть мы хотим вычислить среднее значение некоторой величины (функции состояния) ${\displaystyle F[\varphi ]}$. Введём операцию усреднения ${\displaystyle \langle \dots \rangle }$

${\displaystyle \langle F\rangle =\int \limits _{E}\!{\mathcal {D}}\varphi \,\rho \left[\varphi \right]F[\varphi ]}$

В правой части выражения написан функциональный (континуальный) интеграл (подробнее см. Функциональный интеграл).

Для континуальных Гауссовых интегралов работает обобщение формулы для n-мерных Гауссовых интегралов на континуальный случай:

${\displaystyle \int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)+\left(A,\varphi \right)\right\}=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{-1/2}\exp \left\{{\frac {(A,K^{-1}A)}{2}}\right\}}$.

Вводя условие нормировки

${\displaystyle \int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\rho \left[\varphi \right]=1}$

и используя формулу из предыдущего пункта, получим

${\displaystyle C=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{1/2}}$.

• Теорема Вика для функционального интеграла
• Производящий функционал
• Функциональный интеграл

• Ричард Филлипс Фейнман, Альберт Р. Хиббс. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — Изд-во "Мир", 1968.