Континуальное распределение Гаусса

Континуальное распределение Гаусса было введено в квантовой теории поля как расширение понятия распределения Гаусса для конечномерных векторов на континуальные пространства скалярных и векторных полей. Континуальное распределение активно используется в аппарате функциональных интегралов.

Определение

Рассмотрим поле из некоторого пространства , определяемого условиями задачи (как правило, задача определяет условия вроде гладкости и убывания на бесконечности). В общем случае имеет произвольное количество значков и аргументов. Обозначив множество значков поля как , а набор аргументов как , нормальной (Гауссовой) плотностью распределения назовём функционал

,

где  — область определения аргументов поля , по наборам значков и подразумевается суммирование,  — ядро некоторого дифференциально-интегрального оператора , а  — нормировочная константа.

Это определение, как правило, записывают более коротко, опуская значки, аргументы и интегрирования:

.

Средние значения

Пусть мы хотим вычислить среднее значение некоторой величины (функции состояния) . Введём операцию усреднения

В правой части выражения написан функциональный (континуальный) интеграл (подробнее см. Функциональный интеграл).

Вычисление континуальных Гауссовых интегралов

Для континуальных Гауссовых интегралов работает обобщение формулы для n-мерных Гауссовых интегралов на континуальный случай:

.

Условие и константа нормировки

Вводя условие нормировки

и используя формулу из предыдущего пункта, получим

.

См. также

Литература

  • Ричард Филлипс Фейнман, Альберт Р. Хиббс. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — Изд-во "Мир", 1968.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.