Хронологическое упорядочение

В квантовой теории поля вводится операция хронологического произведения или хронологического упорядочения операторов. Эта операция обозначается ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ и для двух операторов ${\displaystyle A(x)}$ и ${\displaystyle B(y)}$, которые зависят от координат и времени, определяется следующим образом:

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:={\begin{cases}A(x)B(y)&{\text{if }}x_{0}>y_{0},\\\pm B(y)A(x)&{\text{if }}x_{0}<y_{0}.\end{cases}}}$

где ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle y_{0}}$-временные компоненты векторов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$.

Иначе можно записать:

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:=\theta (x_{0}-y_{0})A(x)B(y)\pm \theta (y_{0}-x_{0})B(y)A(x),}$

где ${\displaystyle \theta }$- функция Хевисайда, а знак ${\displaystyle \pm }$ зависит от природы оператора: в бозонном случае знак всегда +, в фермионном знак зависит от чётности перестановки операторов, необходимой для правильного порядка: увеличение временного аргумента происходит справа налево.

Поскольку операторы зависят от координат, операция временного упорядочения независима от координат только в случае, если операторы в точках, разделённых пространственно-подобным интервалом, коммутируют.

В общем случае, для произведения n операторов поля A₁(t₁), …, A_n(t_n) ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$-упорядочение произведения операторов определяется по формуле:

${\displaystyle {\mathcal {T}}\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\cdots A_{n}(t_{n})\}=\sum _{p}\theta (t_{p_{1}}>t_{p_{2}}>\cdots >t_{p_{n}})\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})}$

где суммирование идёт по всем p и по симметрической группе перестановок n-го порядка. Для бозонных операторов ${\displaystyle \varepsilon (p)=1}$, для фермионных ${\displaystyle \varepsilon (p)=(-1)^{k}}$, где k-чётность перестановки.