Лэмбовский сдвиг

Экспериментально установлен У. Ю. Лэмбом (Willis Lamb) и Р. Ризерфордом в 1947 году[2]. В том же году теоретически объяснён Хансом Бете.

В 1955 году за свою работу Уиллис Юджин Лэмб был удостоен Нобелевской премии[3][4].

В 1938 году расчёты, по существу предсказывающие лэмбовский сдвиг, провёл Д. И. Блохинцев, но его работа была отклонена редакцией журнала ЖЭТФ и была опубликована лишь в 1958 году в трудах Д. И. Блохинцева[5].

Сдвиг уровней — это небольшое отклонение тонкой структуры уровней энергии водородоподобных атомов от предсказаний релятивистской квантовой механики, основанных на уравнении Дирака. Согласно точному решению этого уравнения атомные уровни энергии являются двукратно вырожденными: энергии состояний с одинаковым главным квантовым числом ${\displaystyle n=1,2,3,...}$ и одинаковым квантовым числом полного момента ${\displaystyle j=1/2,3/2,...}$ должны совпадать независимо от двух возможных значений орбитального квантового числа ${\displaystyle l=j\pm 1/2=n-1}$ (исключая ${\displaystyle j+1/2=n}$, когда ${\displaystyle l=j-1/2=n-1}$) .

Однако Лэмб и Ризерфорд методом радиоспектроскопии обнаружили расщепление уровней ²S_1/2 (n = 2, l = 0, j = 1/2) и ²Р_1/2 (n = 2, l = 1, j = 1/2) в атоме водорода, которые по расчётам Дирака должны были совпадать. Величина сдвига пропорциональна ${\displaystyle \alpha ^{3}R}$, где ${\displaystyle \alpha }$ — постоянная тонкой структуры, ${\displaystyle R}$ — постоянная Ридберга. Основной вклад в величину сдвига дают два радиационных эффекта:

1. испускание и поглощение связанным электроном виртуальных фотонов, что приводит к изменению эффективной массы электрона и возникновению у него аномального магнитного момента;
2. возможность виртуального рождения и аннигиляции в вакууме электронно-позитронных пар (т. н. поляризация вакуума), что искажает кулоновский потенциал ядра на расстояниях порядка комптоновской длины волны электрона (~4⋅10⁻¹¹ см).

Определённый вклад вносят также эффекты движения и внутренней структуры ядра.

В 1947 Уиллис Лэмб и Роберт Ризерфорд провели эксперимент с использованием микроволнового излучения для стимулирования радиочастотных переходов между квантовыми уровнями атома водорода ${\displaystyle ^{2}S_{1/2}}$ и ${\displaystyle ^{2}P_{1/2}}$. Разница в энергии, найденная Лэмбом и Ризерфордом для перехода между ${\displaystyle ^{2}S_{1/2}}$ и ${\displaystyle ^{2}P_{1/2},}$ составила ~1060 МГц.

Эта разность является эффектом квантовой электродинамики и может интерпретироваться как влияние виртуальных фотонов, которые испустились и были повторно перепоглощены атомом. В квантовой электродинамике электромагнитное поле квантуется так же, как и гармонический осциллятор в квантовой механике. Основное состояние поля имеет энергию ${\displaystyle \hbar \omega /2}$, отличную от нуля (см. Состояния Фока), то есть нулевые колебания поля увеличивают энергию электрона. Радиус орбиты электрона заменяется на величину ${\displaystyle (r+\delta r)}$, что изменяет силу кулоновской связи электрона с ядром, поэтому вырождение уровней ${\displaystyle ^{2}S_{1/2}}$ и ${\displaystyle ^{2}P_{1/2}}$ состояний снимается. Новую энергию уровней можно записать как (используются атомные единицы)

${\displaystyle \langle E_{\text{pot}}\rangle =-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\left\langle {\frac {1}{r+\delta r}}\right\rangle .}$

Сам лэмбовский сдвиг при ${\displaystyle l=0}$:

${\displaystyle \Delta E_{\text{Lamb}}=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {k(n,0)}{4n^{3}}},}$

и при ${\displaystyle l\neq 0}$, ${\displaystyle j=l\pm 1/2}$:

${\displaystyle \Delta E_{\text{Lamb}}=\alpha ^{5}m_{e}c^{2}{\frac {1}{4n^{3}}}\left[k(n,l)\pm {\frac {1}{\pi (j+{\frac {1}{2}})(l+{\frac {1}{2}})}}\right],}$

где ${\displaystyle k(n,l)}$ — малая величина (< 0,05)[1].

В работе 1983 года[9] измерение лэмбовского сдвига было выполнено при помощи двойного атомного интерферометра. Было получено значение 1057,8514(19) МГц.

Ещё более сильное, чем в атоме водорода, электромагнитное взаимодействие происходит между электронами и ядрами тяжёлых атомов. Исследователи из лаборатории GSI (Дармштадт, Германия) пропускали пучок атомов урана (зарядовое число 92) через фольгу, в результате чего атомы теряли все, кроме одного, из своих электронов, превращаясь в ионы с зарядом +91. Электрическое поле между ядром такого иона и оставшимся электроном достигало величины 10¹⁶ В/см. Измеренный лэмбовский сдвиг в ионе составил 468 ± 13 эВ — в согласии с предсказаниями квантовой электродинамики[10].

Лэмб экспериментально получил значение магнитного момента электрона, которое отличается в 1,001159652200 раза от значения магнетона Бора, предсказанного Дираком. Когда была создана теория перенормировок, лэмбовский сдвиг оказался первым физическим эффектом, на котором подтвердилась её правильность (и, соответственно, правильность квантовой электродинамики, построенной с использованием этой перенормировки). Вычисленное новое теоретическое значение оказалось равно 1,001159652415 магнетона Бора, что поразительно точно совпадает с экспериментом.

По данным на 1996 год, вклад собственной энергии во втором порядке по константе связи (порядок величины ${\displaystyle m\alpha (\alpha Z)^{4}}$) составляет 1077,640 МГц, поляризация вакуума во втором порядке по константе связи (порядок величины ${\displaystyle m\alpha (\alpha Z)^{4}}$) составляет −27,084 МГц, релятивистские поправки (порядок величины ${\displaystyle m\alpha (\alpha Z)^{5}}$) составляют 7,140 МГц, релятивистские поправки (порядок величины ${\displaystyle m\alpha (\alpha Z)^{6}}$) равны −0,372 МГц, вклад собственной энергии в четвёртом порядке по константе связи (порядок величины ${\displaystyle m\alpha ^{2}(\alpha Z)^{4}}$) составляет 0,342 МГц, поляризация вакуума в четвёртом порядке по константе связи (порядок величины ${\displaystyle m\alpha ^{2}(\alpha Z)^{4}}$) равна −0,239 МГц, поправка на отдачу равна 0,359 МГц, поправка на конечный размер протона составляет 0,125 МГц[11].

Оценим величину лэмбовского сдвига, исходя из классического уравнения движения электрона под воздействием нулевых колебаний электромагнитного поля в вакууме[6]:

${\displaystyle m\delta {\ddot {r}}=eE,}$

(1)

где ${\displaystyle \delta r}$ — отклонение электрона от орбиты, ${\displaystyle E}$ — напряжённость электрического поля нулевых колебаний электромагнитного поля в вакууме.

Разложим напряжённость электрического поля по плоским волнам:

${\displaystyle E=\sum _{k}E_{k}\cos \omega _{k}t,}$

(2)

где ${\displaystyle \omega _{k}=kc.}$

Интегрируя уравнения движения (1), получаем ${\displaystyle \delta r=-{\frac {e}{m}}\sum _{k}{\frac {E_{k}\cos \omega _{k}t}{\omega _{k}^{2}}}.}$ Среднее значение смещения ${\displaystyle \delta r}$ равно нулю, а средний квадрат смещения будет отличен от нуля: ${\displaystyle {\overline {\delta r^{2}}}={\frac {e^{2}}{2m^{2}}}\sum _{k}{\frac {E_{k}^{2}}{\omega _{k}^{4}}}.}$

Используем формулу энергии нулевых колебаний

${\displaystyle W={\frac {1}{4\pi }}\int \limits _{V}E^{2}\,dV=\sum _{k}{\frac {1}{2}}\hbar \omega _{k}.}$

(3)

Разложение (2) в формуле (3) приводит к равенству ${\displaystyle E_{k}^{2}={\frac {4\pi \hbar \omega _{k}}{V}},}$ а средний квадрат амплитуды дрожания электрона на орбите будет равен ${\displaystyle {\overline {\delta r^{2}}}={\frac {2\pi e^{2}\hbar }{Vm^{3}}}\sum _{k}{\frac {1}{\omega _{k}^{3}}}.}$

Заменим здесь суммирование по волновым векторам на интегрирование по частотам вакуумных фотонов ${\displaystyle \sum _{k}\mapsto 2V\int {\frac {dk}{(2\pi )^{3}}}.}$ Множитель ${\displaystyle 2}$ отвечает двум возможным поляризациям фотона.

В результате для ${\displaystyle {\overline {\delta r^{2}}}}$ получаем следующий интеграл:

${\displaystyle {\overline {\delta r^{2}}}={\frac {2}{\pi }}\alpha \left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\int {\frac {d\omega }{\omega }},}$

где ${\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{\hbar c}}}$ — постоянная тонкой структуры.

Оценим верхний и нижний пределы интегрирования в этом выражении. Так как движение электрона имеет нерелятивистский характер, то импульс, получаемый от фотона нулевых колебаний, ${\displaystyle \hbar k<mc.}$

Верхний предел интегрирования

${\displaystyle \omega _{\text{max}}={\frac {mc^{2}}{\hbar }}.}$

Нижний предел интегрирования

${\displaystyle \omega _{\text{min}}={\frac {E_{n}}{\hbar }}={\frac {(Ze^{2})^{2}m}{2n^{2}\hbar ^{3}}},}$

где ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$ — главное квантовое число.

Таким образом, окончательно имеем

${\displaystyle {\overline {\delta r^{2}}}={\frac {2}{\pi }}\alpha \left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\ln {\frac {2n^{2}}{(Z\alpha )^{2}}}.}$

Размеры области, по которой изменяются координаты электрона, определяются величиной

${\displaystyle r_{\text{vac}}={\sqrt {\overline {\delta r^{2}}}}={\frac {{\sqrt {\alpha }}\hbar }{mc}}.}$

Вследствие влияния нулевых колебаний выражение для потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром вместо выражения

${\displaystyle V(r)=e\varphi }$

преобразуется к виду

${\displaystyle V(r)=V+\delta {V}=e\varphi (r+\delta r)=e\left[1+(\delta r\nabla )+{\frac {1}{2}}(\delta {r}\nabla )^{2}+\dots \right]\varphi (r).}$

(4)

В этой формуле выполнено разложение потенциала ядра по малому параметру ${\displaystyle \delta r}$, а ${\displaystyle \nabla }$ — векторный дифференциальный оператор.

Усредняя уравнение (4) по дрожанию электрона и имея в виду уравнение Пуассона ${\displaystyle \Delta \varphi (r)=-4\pi \rho (r),}$ получим дополнительную энергию взаимодействия электрона с ядром

${\displaystyle \delta V_{\text{vac}}={\frac {4}{3}}e\alpha \left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\rho (r)\ln {\frac {2n^{2}}{(Z\alpha )^{2}}}.}$

Учитывая, что движение электрона в атоме водорода описывается волновой функцией ${\displaystyle \psi (r),}$ сдвиг уровней энергии ${\displaystyle \delta E_{\text{vac}}=\langle \delta V_{\text{vac}}\rangle ={\frac {4mc^{2}}{3\pi n^{3}}}\alpha {(Z\alpha )^{4}}\ln {\frac {2n^{2}}{Z\alpha ^{2}}},}$ где ${\displaystyle |\psi (0)|^{2}={\frac {Zm\alpha ^{3}}{\pi n^{3}}},}$ а угловые скобки означают усреднение по движению электрона.

Численное значение полученной оценки ${\displaystyle \delta E_{\text{vac}}}$ при ${\displaystyle n=2}$ составляет примерно 1000 МГц.

• Скалли М. О., Зубайри М. С. . Квантовая оптика / под ред. В. В. Самарцева. — Физматлит, 2003.
• Сдвиг уровней — статья из Большой советской энциклопедии.