Тонкая структура

В классической теории кинетический член гамильтониана: ${\displaystyle T={\frac {p^{2}}{2m}}}$

Однако, учитывая СТО, мы должны использовать релятивистское выражение для кинетической энергии, ${\displaystyle T={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}}$

где первый член — это общая релятивистская энергия, а второй член — это энергия покоя электрона. Раскладывая это в ряд, получаем

${\displaystyle T={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}+\dots }$

Отсюда, поправка первого порядка к гамильтониану равна ${\displaystyle H'=-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}}$

Используя это как возмущение, мы можем вычислить релятивистские энергетические поправки первого порядка.

${\displaystyle E_{n}^{(1)}=\langle \psi ^{0}\vert H'\vert \psi ^{0}\rangle =-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert p^{4}\vert \psi ^{0}\rangle =-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert \psi ^{0}\rangle }$

где ${\displaystyle \psi ^{0}}$ — невозмущенная волновая функция. Вспоминая невозмущенный гамильтониан, мы видим

${\displaystyle H^{0}\vert \psi ^{0}\rangle =E_{n}\vert \psi ^{0}\rangle }$

${\displaystyle \left({\frac {p^{2}}{2m}}+U\right)\vert \psi ^{0}\rangle =E_{n}\vert \psi ^{0}\rangle }$

${\displaystyle p^{2}\vert \psi ^{0}\rangle =2m(E_{n}-U)\vert \psi ^{0}\rangle }$

Далее, мы можем использовать этот результат для вычисления релятивистской поправки:

${\displaystyle E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert \psi ^{0}\rangle }$

${\displaystyle E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert (2m)^{2}(E_{n}-U)^{2}\vert \psi ^{0}\rangle }$

${\displaystyle E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{2mc^{2}}}(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle U\rangle +\langle U^{2}\rangle )}$

Для атома водорода, ${\displaystyle U={\frac {e^{2}}{r}}}$, ${\displaystyle \langle U\rangle ={\frac {e^{2}}{a_{0}n^{2}}}}$ и ${\displaystyle \langle U^{2}\rangle ={\frac {e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}}}$ где ${\displaystyle a_{0}}$ — боровский радиус, ${\displaystyle n}$ — главное квантовое число и ${\displaystyle l}$ — орбитальное квантовое число. Следовательно, релятивистская поправка для атома водорода равна

${\displaystyle E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{2mc^{2}}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}{\frac {e^{2}}{a_{0}n^{2}}}+{\frac {e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}}\right)=-{\frac {E_{n}^{2}}{2mc^{2}}}\left({\frac {4n}{l+1/2}}-3\right)}$

Поправка спин-орбита появляется, когда мы из стандартной системы отсчёта (где электрон облетает вокруг ядра) переходим в систему, где электрон покоится, а ядро облетает вокруг него. В этом случае движущееся ядро представляет собой эффективную петлю с током, которая в свою очередь создаёт магнитное поле. Однако электрон сам по себе имеет магнитный момент из-за спина. Два магнитных вектора, ${\displaystyle {\vec {B}}}$ и ${\displaystyle {\vec {\mu }}_{s}}$ сцепляются вместе так, что появляется определённая энергия, зависящая от их относительной ориентации. Так появляется энергетическая поправка вида ${\displaystyle \Delta E_{SO}=\xi (r){\vec {L}}\cdot {\vec {S}}}$

Спонтанное рождение электронно-позитронных пар вблизи электрона приводит к тому, что локализация электрона в атоме в области, меньшей его комптоновской длины волны ${\displaystyle \Delta x={\frac {\hbar }{mc}}}$ невозможна и в результате возникает квадратичная флуктуация положения электрона ${\displaystyle \Delta x^{2}}$. В результате внутри ядра потенциальная энергия электрона изменяется. Сдвиг энергии соcтавляет: ${\displaystyle \Delta E_{ep}=m(Z\alpha )^{4}}$, где ${\displaystyle m}$ - масса электрона, ${\displaystyle Z}$ - эффективный заряд ядра, ${\displaystyle \alpha }$ - постоянная тонкой структуры.[1]

• Сверхтонкая структура
• Постоянная тонкой структуры
• Лэмбовский сдвиг
• Мультиплет
• Спектральный терм

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) (англ.). — Prentice Hall, 2004.
• Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics (неопр.). — Addison-Wesley, 2002.

• Hyperphysics: Fine Structure