Формулировка квантовой теории через интегралы по траекториям

Для частицы, находящейся в гладком потенциале, интеграл по траекториям, который в одномерном случае является произведением обыкновенных интегралов, приближают зигзагообразными путями. При движении частицы из положения ${\displaystyle x=x_{a}}$ в момент времени ${\displaystyle t=t_{a}}$ в точку ${\displaystyle x=x_{b}}$ при ${\displaystyle t=t_{b}}$ временная последовательность ${\displaystyle t_{a}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}<t_{b}}$ может быть разделена на n малых сегментов ${\displaystyle t_{j}-t_{j-1},\ j=1,\dots ,n}$ фиксированной длительности ${\displaystyle \varepsilon \equiv \Delta t={\frac {t_{b}-t_{a}}{n+1}}}$ (одним оставшимся сегментом можно пренебречь, так как в конечном счёте рассматривается предел ${\displaystyle n\to \infty }$). Этот процесс называется квантованием времени.

Приближение для интеграла по траекториям пропорционально выражению

${\displaystyle \int \limits _{x_{1}=x_{a}}^{x_{1}=x_{b}}\ldots \int \limits _{x_{n}=x_{a}}^{x_{n}=x_{b}}\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\int \limits _{t_{a}}^{t_{b}}{\mathcal {L}}{\big (}x(t),v(t),t{\big )}\,dt\right)\,dx_{n}\ldots dx_{1},}$

где ${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,v,t)}$ — лагранжиан одномерной системы, зависящий от пространственной переменной x(t) и скорости ${\displaystyle v={\dot {x}}(t)}$, а ${\displaystyle dx_{j}}$ соответствует положению на j-м временном шаге, если временной интеграл приближать суммой n слагаемых.

В пределе при n, стремящемся к бесконечности, это выражение становится функциональным интегралом, который (не считая несущественного множителя) является непосредственно произведением амплитуд плотностей вероятности ${\displaystyle \langle x_{a},t_{a}|x_{b},t_{b}\rangle }$ найти квантово-механическую частицу при ${\displaystyle t=t_{a}}$ в начальном состоянии ${\displaystyle x=x_{a}}$ и при ${\displaystyle t=t_{b}}$ в конечном состоянии ${\displaystyle x=x_{b}}$.

В действительности, ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ — классический лагранжиан рассматриваемой одномерной системы, ${\displaystyle {\mathcal {L}}(x,{\dot {x}},t)=p{\dot {x}}-{\mathcal {H}}(x,p,t)}$, где ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ — гамильтониан (p — импульс, по определению равный ${\displaystyle p=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {x}},}$ и вышеупомянутое «зигзагирование» соответствует появлению слагаемых

${\displaystyle \exp \left({\frac {i}{\hbar }}\,\varepsilon \cdot \sum _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}\left({\tilde {x}}_{j},{\tfrac {x_{j}-x_{j-1}}{\varepsilon }},j\right)\right),}$

где ${\displaystyle {\tilde {x}}_{j}\in [x_{j-1},x_{j}]}$ — некоторая точка из соответствующего отрезка. Например, можно взять центр отрезка: ${\displaystyle {\tilde {x}}_{j}={\tfrac {x_{j}+x_{j-1}}{2}}}$.

Таким образом, в отличие от классической механики, вклад даёт не только стационарная траектория, но, фактически, все виртуальные траектории между начальной и конечной точками.

Фейнмановское приближение квантования времени, однако, не существует для наиболее важных квантово-механических интегралов по траекториям для атомов из-за сингулярности кулоновского потенциала ${\displaystyle e^{2}/r}$ в нуле. Только после замены времени t на другой зависящий от траектории параметр («псевдовремя») ${\displaystyle s=\int dt/r(t)}$ сингулярность устраняется, и приближение квантования времени существует, которое точно интегрируемо, так как оно может быть сделано гармоничным с помощью простого преобразования координат, как было показано İsmail Hakkı Duru и Hagen Kleinert в 1979 году[3]. Совместное применение преобразования время — «псевдовремя» и преобразований координат является важным методом для вычисления многих интегралов по траекториям и называется преобразованием Duru — Kleinert.

В представлении интеграла по траекториям квантовая амплитуда движется от точки x к точке y как интеграл по всем траекториям. Для свободной частицы действие ( ${\displaystyle m=1}$, ${\displaystyle \hbar =1}$) интеграл

${\displaystyle S=\int {{\dot {x}}^{2} \over 2}dt}$

может быть найден явно.

Чтобы сделать это, концептуально удобно начать без множителя i в экспоненте, так что большие отклонения компенсируются малыми числами, а не отменой колеблющихся вкладов:

${\displaystyle K(x-y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}e^{-\int _{0}^{T}{{\dot {x}}^{2} \over 2}dt}Dx.}$

Разбиваем интеграл на части:

${\displaystyle K(x,y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\Pi _{t}e^{-{\frac {1}{2}}\left({x(t+\varepsilon )-x(t) \over \varepsilon }\right)^{2}\varepsilon }\,Dx,}$

где Dx интерпретируется как конечная коллекция интегрирований на каждом целом множителе ε. Каждый множитель в произведении является гауссианом как функцией от x(t + ε), центрированным в x(t) с вариацией ε. Множественные интегралы — это повторяющиеся свёртки этого гауссиана G_ε с копиями самого себя в смежные времена:

${\displaystyle K(x-y;T)=G_{\varepsilon }*G_{\varepsilon }*\dots *G_{\varepsilon },}$

где число свёрток равно T/ε. Результат легко получить, взяв преобразование Фурье обеих сторон, так что свёртки становятся умножениями:

${\displaystyle {\tilde {K}}(p;T)={\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)^{T \over \varepsilon }.}$

Фурье-преобразование гауссиана G является другим гауссианом обратной вариации^{[прояснить]}:

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)=e^{-\varepsilon {p^{2} \over 2}},}$

и результат

${\displaystyle {\tilde {K}}(p;T)=e^{-T{p^{2} \over 2}}.}$

Фурье-преобразование даёт К, и это снова гауссиан с обратной вариацией:

${\displaystyle K(x-y;T)\sim e^{-(x-y)^{2} \over 2T}.}$

Постоянная пропорциональности на самом деле не определена подходом разбиения времени, лишь отношение значений разных конечных выборов определено. Константа пропорциональности должна быть выбрана чтобы убедиться что между каждой из двух временных разбиений эволюция во времени унитарна квантово-механически, но более разъясняющий путь исправить нормировку - предположить интеграл по траекториям как описание стохастического процесса.

Результат имеет вероятностную интерпретацию. Сумма по всем траекториям экспоненциального множителя может быть представлена как сумма по всем траекториям вероятности выбора данной траектории. Вероятность - это произведение по каждому сегменту вероятности выбора данного сегмента, так что каждый сегмент вероятностным образом независимо выбирается. Факт того, что ответ - Гауссиан, распространяющийся линейно во времени - центральная предельная теорема, которая может быть интерпретирована как первый исторической вывод статистического интеграла по траекториям.

Вероятностная интерпретация даёт естественный выбор нормировки. Интеграл по траекториям следует определять так, что:

${\displaystyle \int K(x-y;T)dy=1.}$

Это условие нормирует Гауссиан и образует ядро которое удовлетворяет уравнению диффузии:

${\displaystyle {d \over dt}K(x;T)={\nabla ^{2} \over 2}K.}$

Для колеблющихся интегралов по траекториям, тех что с i в числителе, разбиение по времени образует искривляющиеся Гауссианы, так как раньше. Теперь, однако, продукт искривления в самой малой степени сингулярен так как он нуждается в осторожных лимитах для определения осциллирующих интегралов. Чтобы сделать факторы хорошо определёнными, наилегчайший путь заключается в том, чтобы прибавить маленькую мнимую часть к временному слагаемому ε. Тогда тот же искривляющий аргумент как раньше даёт ядро распространения:

${\displaystyle K(x-y;T)\propto e^{i(x-y)^{2} \over 2T}.}$

Которое, с той же нормировкой что и раньше (не сумма-квадрат нормировкой! эта функция имеет расходящуюся норму), удовлетворяет свободному уравнению Шредингера

${\displaystyle {d \over dt}K(x;T)={\rm {i}}{\nabla ^{2} \over 2}K.}$

Это означает, что любая суперпозиция К также будет удовлетворять тому же уравнению, линейно. Определяя

${\displaystyle \psi _{t}(y)=\int \psi _{0}(x)K(x-y;t)dx=\int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}^{x(t)=y}e^{iS}Dx,}$

тогда ψt удовлетворяет свободному уравнению Шредингера, также как К:

${\displaystyle {\rm {i}}{\partial \over \partial t}\psi _{t}=-{\nabla ^{2} \over 2}\psi _{t}.}$