Параметризация Фейнмана

Ричард Фейнман заметил, что:

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}}$

причём формула действительна для любых комплексных чисел A и B, если 0 не содержится в отрезке прямой, соединяющем A и B. Формула помогает оценить интегралы, такие как:

${\displaystyle \int {\frac {dp}{A(p)B(p)}}=\int dp\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA(p)+(1-u)B(p)\right]^{2}}}=\int _{0}^{1}du\int {\frac {dp}{\left[uA(p)+(1-u)B(p)\right]^{2}}}.}$

Если A (p) и B (p) — линейные функции от p, то последний интеграл можно оценить с помощью подстановки.

В более общем смысле, используя дельта-функцию Дирака ${\displaystyle \delta }$:[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}&=(n-1)!\int _{0}^{1}du_{1}\cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta (1-\sum _{k=1}^{n}u_{k})\;}{\left(\sum _{k=1}^{n}u_{k}A_{k}\right)^{n}}}\\&=(n-1)!\int _{0}^{1}du_{1}\int _{0}^{u_{1}}du_{2}\cdots \int _{0}^{u_{n-2}}du_{n-1}{\frac {1}{\left[A_{1}+u_{1}(A_{2}-A_{1})+\dots +u_{n-1}(A_{n}-A_{n-1})\right]^{n}}}.\end{aligned}}}$

Эта формула действительна для любых комплексных чисел A₁,. , ., A_n, если 0 не содержится в их выпуклой оболочке.

Даже в более общем плане, при условии, что ${\displaystyle {\text{Re}}(\alpha _{j})>0}$ для всех ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ :

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}\cdots A_{n}^{\alpha _{n}}}}={\frac {\Gamma (\alpha _{1}+\dots +\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}}\int _{0}^{1}du_{1}\cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta (1-\sum _{k=1}^{n}u_{k})\;u_{1}^{\alpha _{1}-1}\cdots u_{n}^{\alpha _{n}-1}}{\left(\sum _{k=1}^{n}u_{k}A_{k}\right)^{\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}}}}}$

где ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция.[2]

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}={\frac {1}{A-B}}\left({\frac {1}{B}}-{\frac {1}{A}}\right)={\frac {1}{A-B}}\int _{B}^{A}{\frac {dz}{z^{2}}}.}$

Теперь просто линейно преобразовать интеграл с помощью подстановки,

${\displaystyle u=(z-B)/(A-B)}$,

что приводит к ${\displaystyle du=dz/(A-B)}$,

откуда ${\displaystyle z=uA+(1-u)B}$

и мы получаем искомый результат:

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}.}$

В более общих случаях вывод могжет быть выполнен очень эффективно с использованием параметризации Швингера. Например, чтобы вывести параметризованную форму Фейнмана ${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}...A_{n}}}}$ Сначала мы повторно выражаем все факторы в знаменателе в их параметризованной форме Швингера:

${\displaystyle {\frac {1}{A_{i}}}=\int _{0}^{\infty }ds_{i}\,e^{-s_{i}A_{i}}\ \ {\text{for }}i=1,\ldots ,n}$

и записываем

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=\int _{0}^{\infty }ds_{1}\cdots \int _{0}^{\infty }ds_{n}\exp \left(-\left(s_{1}A_{1}+\cdots +s_{n}A_{n}\right)\right).}$

Затем мы выполняем следующее изменение переменных интегрирования,

${\displaystyle \alpha =s_{1}+...+s_{n},}$

${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {s_{i}}{s_{1}+\cdots +s_{n}}};\ i=1,\ldots ,n-1,}$

чтобы получить,

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=\int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1}\int _{0}^{\infty }d\alpha \ \alpha ^{N-1}\exp \left(-\alpha \left\{\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}\right\}\right).}$

где ${\displaystyle \int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1}}$ обозначает интеграцию по площади ${\displaystyle 0\leq \alpha _{i}\leq 1}$ с ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}\leq 1}$ ,

Следующим шагом является выполнение интегрирования по ${\displaystyle \alpha }$.

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }d\alpha \ \alpha ^{n-1}\exp(-\alpha x)={\frac {\partial ^{n-1}}{\partial (-x)^{n-1}}}\left(\int _{0}^{\infty }d\alpha \exp(-\alpha x)\right)={\frac {\left(n-1\right)!}{x^{n}}}.}$

где мы определили ${\displaystyle x=\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}.}$

Подставляя этот результат, мы получаем предпоследнюю форму,

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=\left(n-1\right)!\int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1}{\frac {1}{[\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}]^{n}}},}$

и после введения дополнительного интеграла мы приходим к окончательному виду параметризации Фейнмана, а именно:

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=\left(n-1\right)!\int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots \int _{0}^{1}d\alpha _{n}{\frac {\delta \left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n}\right)}{[\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n}A_{n}]^{n}}}.}$

Точно так же, чтобы вывести форму параметризации Фейнмана из наиболее общего случая,  : ${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}...A_{n}^{\alpha _{n}}}}}$ можно начать с подходящей другой формы параметризации Швингера в знаменателе, а именно:

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}}}={\frac {1}{\left(\alpha _{1}-1\right)!}}\int _{0}^{\infty }ds_{1}\,s_{1}^{\alpha _{1}-1}e^{-s_{1}A_{1}}={\frac {1}{\Gamma (\alpha _{1})}}{\frac {\partial ^{\alpha _{1}-1}}{\partial (-A_{1})^{\alpha _{1}-1}}}\left(\int _{0}^{\infty }ds_{1}e^{-s_{1}A_{1}}\right)}$

и затем действовать точно в соответствии с предыдущим случаем.

Альтернативная форма параметризации, которая иногда полезна,

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{2}}}.}$

Эта форма может быть получена с помощью замены переменных ${\displaystyle \lambda =u/(1-u)}$, Мы можем использовать правило произведения, чтобы показать, что ${\displaystyle d\lambda =du/(1-u)^{2}}$, затем

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{AB}}&=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}\\&=\int _{0}^{1}{\frac {du}{(1-u)^{2}}}{\frac {1}{\left[{\frac {u}{1-u}}A+B\right]^{2}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{2}}}\\\end{aligned}}}$

В более общем случае мы имеем

${\displaystyle {\frac {1}{A^{m}B^{n}}}={\frac {\Gamma (m+n)}{\Gamma (m)\Gamma (n)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{m-1}d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{n+m}}},}$

где ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция .

Эта форма может быть полезна при объединении линейного знаменателя ${\displaystyle A}$ с квадратичным знаменателем ${\displaystyle B}$, например, в эффективной теории тяжелых кварков (HQET).

Иногда используется симметричная форма параметризации, где вместо этого выполняется интеграл на интервале ${\displaystyle [-1,1]}$, что приводит к:

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=2\int _{-1}^{1}{\frac {du}{\left[(1+u)A+(1-u)B\right]^{2}}}.}$