Параметризация Фейнмана

Параметризация Фейнмана — это метод оценки интегралов по замкнутым контурам, возникающих из диаграмм Фейнмана с одним или несколькими циклами. Однако иногда это полезно при интегрировании в области чистой математики.

Формулы

Ричард Фейнман заметил, что:

причём формула действительна для любых комплексных чисел A и B, если 0 не содержится в отрезке прямой, соединяющем A и B. Формула помогает оценить интегралы, такие как:

Если A (p) и B (p) — линейные функции от p, то последний интеграл можно оценить с помощью подстановки.

В более общем смысле, используя дельта-функцию Дирака :[1]

Эта формула действительна для любых комплексных чисел A1,. , ., An, если 0 не содержится в их выпуклой оболочке.

Даже в более общем плане, при условии, что для всех  :

где гамма-функция.[2]

Вывод

Теперь просто линейно преобразовать интеграл с помощью подстановки,

,
что приводит к ,
откуда

и мы получаем искомый результат:

В более общих случаях вывод могжет быть выполнен очень эффективно с использованием параметризации Швингера. Например, чтобы вывести параметризованную форму Фейнмана Сначала мы повторно выражаем все факторы в знаменателе в их параметризованной форме Швингера:

и записываем

Затем мы выполняем следующее изменение переменных интегрирования,

чтобы получить,

где обозначает интеграцию по площади с ,

Следующим шагом является выполнение интегрирования по .

где мы определили

Подставляя этот результат, мы получаем предпоследнюю форму,

и после введения дополнительного интеграла мы приходим к окончательному виду параметризации Фейнмана, а именно:

Точно так же, чтобы вывести форму параметризации Фейнмана из наиболее общего случая,  : можно начать с подходящей другой формы параметризации Швингера в знаменателе, а именно:

и затем действовать точно в соответствии с предыдущим случаем.

Альтернативная форма

Альтернативная форма параметризации, которая иногда полезна,

Эта форма может быть получена с помощью замены переменных , Мы можем использовать правило произведения, чтобы показать, что , затем

В более общем случае мы имеем

где гамма-функция .

Эта форма может быть полезна при объединении линейного знаменателя с квадратичным знаменателем , например, в эффективной теории тяжелых кварков (HQET).

Симметричная форма

Иногда используется симметричная форма параметризации, где вместо этого выполняется интеграл на интервале , что приводит к:

Примечания

  1. . — ISBN 978-0-521-67053-1.
  2. Kristjan Kannike. Notes on Feynman Parametrization and the Dirac Delta Function. Дата обращения: 24 июля 2011. Архивировано 29 июля 2007 года.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.