Метрика Шварцшильда

В так называемых Шварцшильдовских координатах ${\displaystyle (t,\;r,\;\theta ,\;\varphi )}$, из которых 3 последних аналогичны сферическим, метрический тензор наиболее физически важной части пространства-времени Шварцшильда с топологией ${\displaystyle R^{2}\times S^{2}}$ (произведение области двумерного евклидова пространства и двумерной сферы) имеет вид

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)&0&0&0\\0&-\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.}$

Интервал в этой метрике записывается как

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)}}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}\right),}$

где ${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$ — так называемый радиус Шварцшильда, или гравитационный радиус, ${\displaystyle M}$ — масса, создающая гравитационное поле (в частности, масса чёрной дыры), ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная, ${\displaystyle c}$ — скорость света. При этом область изменения координат ${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\ r_{s}<r<\infty ,\ 0\leq \theta \leq \pi ,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi }$ с отождествлением точек ${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi =0)}$ и ${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi =2\pi )}$, как в обычных сферических координатах.

Координата ${\displaystyle r}$ не является длиной радиус-вектора, а вводится так, чтобы площадь сферы ${\displaystyle t=\mathrm {const} ,\;r=r_{0}}$ в данной метрике была равна ${\displaystyle 4\pi r_{0}^{2}}$. При этом «расстояние» между двумя событиями с разными ${\displaystyle r}$ (но одинаковыми остальными координатами) даётся интегралом

${\displaystyle \int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {dr}{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}}}}>r_{2}-r_{1},\qquad r_{2},\;r_{1}>r_{s}.}$

При ${\displaystyle M\to 0}$ или ${\displaystyle r\to \infty }$ метрика Шварцшильда стремится (покомпонентно) к метрике Минковского в сферических координатах, так что вдали от массивного тела ${\displaystyle M}$ пространство-время оказывается приблизительно псевдоевклидовым сигнатуры ${\displaystyle (1,3)}$. Так как ${\displaystyle g_{00}=1-{\frac {r_{s}}{r}}\leqslant 1}$ при ${\displaystyle r>r_{s}}$ и ${\displaystyle g_{00}}$ монотонно возрастает с ростом ${\displaystyle r}$, то собственное время в точках вблизи тела «течёт медленнее», чем вдалеке от него, то есть происходит гравитационное замедление времени массивными телами.

Для центрально-симметричного гравитационного поля в пустоте (а это и есть случай метрики Шварцшильда) можно положить:

${\displaystyle g_{00}=e^{\nu },\quad g_{11}=-e^{\lambda };\quad \lambda +\nu =0,\quad e^{-\lambda }=e^{\nu }=1-{\frac {r_{s}}{r}}.}$

Тогда не равные нулю независимые символы Кристоффеля имеют вид

${\displaystyle \Gamma _{11}^{1}={\frac {\lambda _{r}^{\prime }}{2}},\quad \Gamma _{10}^{0}={\frac {\nu _{r}^{\prime }}{2}},\quad \Gamma _{33}^{2}=-\sin \theta \cos \theta ,}$

${\displaystyle \Gamma _{11}^{0}={\frac {\lambda _{t}^{\prime }}{2}}e^{\lambda -\nu },\quad \Gamma _{22}^{1}=-re^{-\lambda },\quad \Gamma _{00}^{1}={\frac {\nu _{r}^{\prime }}{2}}e^{\nu -\lambda },}$

${\displaystyle \Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}={\frac {1}{r}},\quad \Gamma _{23}^{3}=\operatorname {ctg} \,\theta ,\quad \Gamma _{00}^{0}={\frac {\nu _{t}^{\prime }}{2}},}$

${\displaystyle \Gamma _{10}^{1}={\frac {\lambda _{t}^{\prime }}{2}},\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta \,e^{-\lambda }.}$

Инварианты тензора кривизны равны

${\displaystyle I_{1}=\left({\frac {r_{s}}{2r^{3}}}\right)^{2},\quad I_{2}=\left({\frac {r_{s}}{2r^{3}}}\right)^{3}.}$

Тензор кривизны относится к типу ${\displaystyle \mathbf {D} }$ по Петрову.

Если имеется сферически симметричное распределение материи «радиуса» (с точки зрения координат) ${\displaystyle a}$, то полная масса тела может быть выражена через его тензор энергии-импульса по формуле

${\displaystyle m={\frac {4\pi }{c^{2}}}\int \limits _{0}^{a}T_{0}^{0}r^{2}\,dr.}$

В частности, для статического распределения вещества ${\displaystyle T_{0}^{0}=\varepsilon }$, где ${\displaystyle \varepsilon }$ — плотность энергии в пространстве. Учитывая, что объём шарового слоя в выбранных нами координатах равен

${\displaystyle dV=4\pi r^{2}{\sqrt {g_{11}}}\,dr>4\pi r^{2}\,dr,}$

получим, что

${\displaystyle m=\int \limits _{0}^{a}{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}4\pi r^{2}\,dr<\int \limits _{V}{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}\,dV.}$

Это различие выражает собой гравитационный дефект массы тела. Можно сказать, что часть полной энергии системы содержится в энергии гравитационного поля, хотя локализовать эту энергию в пространстве невозможно.

На первый взгляд, метрика содержит две особенности: при ${\displaystyle r=0}$ и при ${\displaystyle r=r_{s}}$. Действительно, в Шварцшильдовских координатах частице, падающей на тело, потребуется бесконечно большое время ${\displaystyle t}$ для достижения поверхности ${\displaystyle r=r_{s}}$, однако переход, например, к координатам Леметра в сопутствующей системе отсчёта показывает, что с точки зрения падающего наблюдателя никакой особенности пространства-времени на данной поверхности нет, причём как сама поверхность, так и область ${\displaystyle r\approx 0}$ будут достигнуты за конечное собственное время.

Реальная особенность метрики Шварцшильда наблюдается лишь при ${\displaystyle r\to 0}$, где стремятся к бесконечности скалярные инварианты тензора кривизны. Эта особенность (сингулярность) не может быть устранена сменой системы координат.

Поверхность ${\displaystyle r=r_{s}}$ называется горизонтом событий. При более удачном выборе координат, например в координатах Леметра или Крускала, можно показать, что никакие сигналы не могут выйти из чёрной дыры через горизонт событий. В этом смысле не удивительно, что поле вне Шварцшильдовской чёрной дыры зависит лишь от одного параметра — полной массы тела.