Метрика пространства-времени

Метрический тензор симметричный относительно своих индексов, то есть ${\displaystyle g_{ij}=g_{ji}}$. Это видно из общей формулы для квадрата дифференциала пространственно-временного интервала. Детерминант метрики пространства-времени, который обозначается через g, отрицательный.

Контравариантная форма метрического тензора связана с ковариантной с помощью полностью антисимметрического тензора четвёртого порядка

${\displaystyle E^{ijkl}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}e^{ijkl}}$,

где ${\displaystyle e^{ijkl}}$ — обычный полностью антисимметрический тензор, определённый в инерционной системе отсчёта, то есть тензор, компоненты которого равны 1 или -1 и меняют знак при перестановке каких-либо двух индексов.

Таким образом

${\displaystyle g^{ij}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}e^{ijkl}g_{kl}}$

Метрический тензор, как и какой-либо симметрический тензор, возможно выбором системы отсчёта свести к диагональному виду. Однако эта операция справедлива только к определённой точке пространства-времени и, в общем случае, не может быть проведена для всего пространства-времени.

Квадрат дифференциала пространственно-временного интервала для одной пространственной точки равен

${\displaystyle ds^{2}=g_{00}(dx^{0})^{2}=c^{2}d\tau ^{2}}$,

где с — скорость света в вакууме.

Величину

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{c}}\int {\sqrt {g_{00}}}dx^{0}}$

называют собственным временем для данной точки пространства.

Квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками задаётся формулой

${\displaystyle dl^{2}=\gamma _{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }=\left(-g_{\alpha \beta }+{\frac {g_{\alpha 0}g_{0\beta }}{g_{00}}}\right)dx^{\alpha }dx^{\beta }}$

Греческие индексы используются тогда, когда суммирование ведётся лишь по пространственным координатам. Тензор ${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$ есть метрический тензор для трёхмерного пространства.

Интегрировать определённое таким образом расстояние нельзя, так как результат зависел бы от мировой линии, по которой бы велось интегрирование. Таким образом, в общей теории относительности понятия расстояния между далёкими объектами в трёхмерном пространстве теряет смысл. Единственное исключение — ситуация, в которой метрический тензор ${\displaystyle g_{ij}}$ не зависит от времени.

• Статическая изотропная метрика

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. т. ІІ. Теория поля. — М.: Наука, 1974. — Т. 2.
• Г. А. Зисман. Метрика пространства-времени Значение слова "Метрика пространства-времени" в Большой советской энциклопедии (неопр.). bse.sci-lib.com. Дата обращения: 10 июня 2009. Архивировано 2 апреля 2012 года.