Статическая изотропная метрика

Под словами статическое и изотропное понимается следующее: всегда можно найти набор координат близких к координатам Минковского ${\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3},x^{0}=t}$, такой что инваринтное собственное время ${\displaystyle d\tau ^{2}=-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}$ не зависит от ${\displaystyle t}$, а зависит от ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {dx} }$ только через инварианты группы поворотов: ${\displaystyle \mathbf {x^{2}} ,\mathbf {x} \cdot \mathbf {dx} ,\mathbf {dx^{2}} }$. Самый общий вид записи интервала: ${\displaystyle d\tau ^{2}=F(r)dt^{2}-2E(r)dt\mathbf {x} \cdot \mathbf {dx} -D(r)(\mathbf {x} \cdot \mathbf {dx} )^{2}-C(r)\mathbf {dx^{2}} ,}$

где ${\displaystyle F,E,C,D}$ — неизвестные функции величины ${\displaystyle r\equiv (\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} )^{1/2}}$

Выгодно заменить ${\displaystyle \mathbf {x} }$ сферическими полярными координатами ${\displaystyle r,\theta ,\phi }$:

${\displaystyle x^{1}=r\sin \theta \cos \varphi \,;}$

${\displaystyle x^{2}=r\sin \theta \sin \varphi \,;}$

${\displaystyle x^{3}=r\cos \varphi \,.}$

Интервал в таком случае примет вид:

${\displaystyle d\tau ^{2}=F(r)dt^{2}-2rE(r)dtdr-r^{2}D(r)dr^{2}-C(r)(dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})}$,

Мы можем установить наши часы по определению новой временной координаты

${\displaystyle t'\equiv t+\Phi (r)}$

где ${\displaystyle \Phi (r)}$ — произвольная функция от ${\displaystyle r}$. Это позволяет исключить недиагональных элемент ${\displaystyle g_{tr}}$, положив

${\displaystyle {\frac {d\Phi }{dr}}=-{\frac {rE(r)}{F(r)}}}$

Тогда интервал выражается так:

${\displaystyle d\tau ^{2}=F(r)dt'^{2}-r^{2}G(r)dr^{2}-C(r)(dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})}$

${\displaystyle G(r)\equiv r^{2}\left(D(r)+{\frac {E^{2}(r)}{F(r)}}\right)}$

Мы можем переопределить радиус ${\displaystyle r}$ и, тем самым, наложить ещё одно условие на функции ${\displaystyle F,G,C}$, например следующим образом ${\displaystyle r'\equiv r^{2}C(r)}$ . Тогда мы получим так называемую стандартную форму для статической изотропной метрики:

${\displaystyle d\tau ^{2}=B(r')dt'^{2}-A(r')dr'^{2}-r'^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})}$

где

${\displaystyle B(r)\equiv F(r')}$

${\displaystyle A(r)\equiv \left(1+{\frac {G(r)}{C(r)}}\right)\left(1+{\frac {r}{2C(r)}}{\frac {dC(r)}{dr}}\right)^{-2}.}$

После последнего преобразования метрический тензор имеет следующие ненулевые компоненты:

${\displaystyle g_{rr}=A(r)}$

${\displaystyle g_{\theta \theta }=r^{2}}$

${\displaystyle g_{\phi \phi }=r^{2}sin^{2}\theta }$

${\displaystyle g_{tt}=-B(r)}$

Где функции ${\displaystyle A(r)}$ і ${\displaystyle B(r)}$ должны быть определении путём решения уравнений поля. Так как ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ — диагональный тензор, легко написать ненулевые компоненты тензора, обратного к нему:

${\displaystyle g^{rr}=A^{-1}(r)}$

${\displaystyle g^{\theta \theta }=r^{-2}}$

${\displaystyle g^{\phi \phi }=r^{-2}sin^{-2}\theta }$

${\displaystyle g^{tt}=-B^{-1}(r)}$

Аффинная связность может быть вычислена по обычной формуле:

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{s}={1 \over 2}\,g^{sk}\left(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}\right)}$

Её ненулевые компоненты оказываются равными:

${\displaystyle \Gamma _{rr}^{r}={\frac {1}{2A(r)}}{\frac {dA(r)}{dx}}}$,

${\displaystyle \Gamma _{\phi \phi }^{r}=-{\frac {rsin^{2}\theta }{A(r)}}}$,

${\displaystyle \Gamma _{r\theta }^{\theta }=\Gamma _{\theta r}^{\theta }={\frac {1}{r}}}$,

${\displaystyle \Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }={\frac {1}{r}}}$,

${\displaystyle \Gamma _{\theta \theta }^{r}=-{\frac {r}{A(r)}}}$,

${\displaystyle \Gamma _{tt}^{r}={\frac {1}{2A(r)}}{\frac {dB(r)}{dx}}}$,

${\displaystyle \Gamma _{\phi \phi }^{\theta }=-sin\theta cos\theta }$,

${\displaystyle \Gamma _{\theta \phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi \theta }^{\phi }=ctg\theta }$,

${\displaystyle \Gamma _{tr}^{t}=\Gamma _{rt}^{t}={\frac {1}{2B(r)}}{\frac {dB(r)}{dx}}}$,

Вычислим также тензор Риччи. Он задаётся выражением

${\displaystyle R_{\sigma \nu }={R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }={\partial _{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}-\partial _{\nu }\Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \sigma }^{\lambda }.}$

Подставляя ранее полученные компоненты аффинной связности, получим:

${\displaystyle R_{rr}={\frac {B''(r)}{2B(r)}}-{\frac {1}{4}}{\frac {B'(r)}{B(r)}}\left({\frac {A'(r)}{A(r)}}+{\frac {B'(r)}{B(r)}}\right)-{\frac {1}{r}}{\frac {A'(r)}{A(r)}}}$,

${\displaystyle R_{\theta \theta }=-1+{\frac {r}{2A(r)}}\left(-{\frac {A'(r)}{A(r)}}+{\frac {B'(r)}{B(r)}}\right)+{\frac {1}{A(r)}}}$,

${\displaystyle R_{\phi \phi }=sin^{2}\theta R_{\theta \theta }}$,

${\displaystyle R_{tt}={\frac {B''(r)}{2A(r)}}-{\frac {1}{4}}{\frac {B'(r)}{A(r)}}\left({\frac {A'(r)}{A(r)}}+{\frac {B'(r)}{B(r)}}\right)-{\frac {1}{r}}{\frac {B'(r)}{A(r)}}}$,

(Штрих теперь означает дифференцирование по ${\displaystyle r}$). Вследствие инвариантности метрики относительно поворотов компоненты ${\displaystyle R_{\theta r}}$, ${\displaystyle R_{\theta \phi }}$, ${\displaystyle R_{\phi r}}$, ${\displaystyle R_{\phi t}}$, ${\displaystyle R_{\theta t}}$ тождественно равны нулю, а ${\displaystyle R_{\phi \phi }=sin^{2}R_{\theta \theta }}$. Равенство нулю ${\displaystyle R_{tr}}$ связано с тем, что мы установили наши часы так, что метрика оказалась инвариантна относительно обращения времени ${\displaystyle t\leftrightarrow -t}$.