Теорема Нётер

Если интеграл действия ${\displaystyle S}$ инвариантен по отношению к некоторой ${\displaystyle r}$-параметрической конечной группе Ли ${\displaystyle G_{r}}$, то ${\displaystyle r}$ линейно независимых комбинаций лагранжевых производных (левые части уравнений Лагранжа — Эйлера) обращаются в дивергенции; и обратно, из последнего условия вытекает инвариантность ${\displaystyle S}$ по отношению к некоторой группе ${\displaystyle G_{r}}$[3].

В теоретической физике выражения, стоящие под знаком дивергенций, называются токами. Если лагранжевы производные равны нулю (выполняются уравнения Эйлера), то дивергенции токов обращаются в нуль. Следствием этого являются дифференциальные законы сохранения. Интегральные законы сохранения типа закона сохранения электрического заряда или закона сохранения энергии получаются при интегрировании дифференциальных законов сохранения по специальным образом выбранной 3-мерной гиперповерхности при определённых граничных условиях[4].

Если ${\displaystyle r}$ линейно независимых комбинаций лагранжевых производных (левые части уравнений Лагранжа — Эйлера) обращаются в дивергенции, то интеграл действия инвариантен относительно ${\displaystyle r}$-параметрической конечной группы Ли[4].

Обобщением первой теоремы Нётер для случая функционалов, инвариантных относительно произвольных бесконечных групп Ли ${\displaystyle G_{\infty r}}$, является вторая теорема Нётер.

Если интеграл действия ${\displaystyle S}$ инвариантен по отношению к некоторой ${\displaystyle r}$-параметрической бесконечной группе Ли ${\displaystyle G_{\infty r}}$, в которой встречаются производные до ${\displaystyle k}$-го порядка включительно, то имеет место ${\displaystyle r}$ тождественных соотношений между лагранжевыми производными и производными от них до ${\displaystyle k}$-го порядка. Обратное тоже верно.[3]

Если имеет место ${\displaystyle r}$ тождественных соотношений между лагранжевыми производными и производными от них до ${\displaystyle k}$-го порядка включительно, то интеграл действия инвариантен относительно бесконечной группы Ли ${\displaystyle G_{\infty r}}$, преобразования которой содержат производные до ${\displaystyle k}$-го порядка[4].

Каждой однопараметрической группе диффеоморфизмов ${\displaystyle g^{s}(q_{i})}$, сохраняющих функцию Лагранжа, соответствует первый интеграл системы, равный

${\displaystyle I=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {d}{ds}}g^{s}(q_{i})\right){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\Bigg |}_{s=0}}$

В терминах инфинитезимальных преобразований: пусть инфинитезимальное преобразование координат имеет вид

${\displaystyle g^{s}({\vec {q}})={\vec {q}}_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},\;t)}$

и функция Лагранжа ${\displaystyle L(q,\;{\dot {q}},\;t)}$ инвариантна относительно этих преобразований, то есть

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}L({\vec {q}}_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},\;t),\;{\dot {{\vec {q}}_{0}}}+s{\dot {\vec {\psi }}}({\vec {q}},\;t),\;t)=0}$ при ${\displaystyle s=0.}$

Тогда у системы существует первый интеграл, равный

${\displaystyle I=\left({\vec {\psi }}({\vec {q}},\;t);\;{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}}}\right)=\sum _{i=1}^{n}\psi _{i}({\vec {q}},\;t){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.}$

Теорему можно обобщить на случай преобразований, затрагивающих также и время, если представить её движение как зависящее от некоторого параметра ${\displaystyle \tau }$, причем в процессе движения ${\displaystyle t=\tau }$. Тогда из преобразований

${\displaystyle g^{s}({\vec {q}})={\vec {q}}_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},\;t),}$

${\displaystyle g^{s}(t)=t_{0}+s\xi ({\vec {q}},\;t),}$

следует первый интеграл

${\displaystyle I=\xi L+\left({\vec {\psi }}-\xi {\dot {\vec {q}}};\;{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}}}\right).}$

Теорема Нётер допускает прямое обобщение на случаи систем с бесконечным числом степеней свободы, примером которых являются гравитационное и электромагнитное поле. А именно, пусть функция Лагранжа системы зависит от ${\displaystyle n}$ потенциалов, зависящих в свою очередь от ${\displaystyle k}$ координат. Функционал действия будет иметь вид

${\displaystyle S=\int L(A^{i},\;\partial _{\mu }A^{i},\;x^{\mu })\,d\Omega ,\quad i=1,\ldots ,\;n,\quad \mu =1,\;\ldots ,\;k,\quad d\Omega =dx^{1}\ldots dx^{k}.}$

Пусть однопараметрическая группа ${\displaystyle g^{s}}$ диффеоморфизмов пространства потенциалов сохраняет функцию Лагранжа; тогда сохраняется вектор

${\displaystyle J^{\mu }=\left({\frac {d}{ds}}g^{s}A^{i}\right){\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }A^{i})}},}$

называемый вектором потока Нётер. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование: ${\displaystyle \partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}$. Смысл сохранения вектора потока Нётер в том, что

${\displaystyle \ \partial _{\mu }J^{\mu }=0,}$

поэтому поток ${\displaystyle J}$ через любую замкнутую поверхность в пространстве координат равен 0. В частности, если выделить среди координат одну, называемую временем, и рассмотреть гиперплоскости постоянного времени, то поток ${\displaystyle J}$ через такую гиперплоскость постоянен во времени при условии достаточно быстрого спадания поля на бесконечности и некомпактности гиперповерхности, чтобы поток вектора через боковую границу области пространства между двумя гиперповерхностями был равен 0. В классической теории поля таким свойством обладает, например, тензор энергии-импульса для электромагнитного поля. В вакууме лагранжиан поля не зависит явно от координат, поэтому имеется сохраняющаяся величина, ассоциируемая с потоком энергии-импульса.

Пусть имеется вариационная задача с функционалом действия ${\displaystyle S=\int L({\vec {u}},{\vec {x}},\dots )\,d{\boldsymbol {x}}}$. Здесь ${\displaystyle L}$ — лагранжиан, ${\displaystyle x}$ — независимые переменные, ${\displaystyle u}$ — зависимые переменные, то есть функции от ${\displaystyle x}$. ${\displaystyle L}$ может зависеть также и от производных ${\displaystyle u}$ по ${\displaystyle x}$, не обязательно первого порядка.

Вариационная задача для такого функционала приводит к дифференциальным уравнениям Эйлера — Лагранжа, которые можно записать в виде

${\displaystyle \mathrm {E_{\alpha }} (L)=0~,~\alpha =1\dots q,}$

где ${\displaystyle \mathrm {E} }$ — операторы Эйлера — Лагранжа:

${\displaystyle \mathrm {E_{\alpha }} ={\frac {\partial }{\partial u_{\alpha }}}-\sum _{i=1}^{p}{\frac {d}{dx_{i}}}{\frac {\partial }{\partial u_{x_{i}}^{\alpha }}}+\dots ,}$

${\displaystyle u_{x_{i}}^{\alpha }}$ — производная функции ${\displaystyle u^{\alpha }}$ по переменной ${\displaystyle x_{i}}$. Многоточие означает, что если ${\displaystyle L}$ зависит от производных порядка выше первого, то нужно добавить соответствующие слагаемые в ${\displaystyle \mathrm {E} }$. В компактной записи

${\displaystyle \mathrm {E_{\alpha }} =\sum _{J}(-D)_{J}{\frac {\partial }{\partial u_{J}^{\alpha }}}}$,

где ${\displaystyle J}$ — мультииндекс. Суммирование ведётся по всем таким слагаемым, что производная ${\displaystyle u_{J}^{\alpha }}$ входит в ${\displaystyle L}$.

Теорема Нётер связывает так называемые вариационные симметрии функционала ${\displaystyle S}$ с законами сохранения, выполняющимися на решениях уравнений Эйлера — Лагранжа.

Закон сохранения для системы дифференциальных уравнений — это выражение вида

${\displaystyle \mathrm {Div} {\vec {P}}=0,}$

которое справедливо на решениях этой системы, то есть такое, что если подставить в него эти дифференциальные уравнения, получится тождество. В данном случае рассматриваются дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа. Здесь ${\displaystyle \mathrm {Div} }$ — полная дивергенция (дивергенция с полными производными) по ${\displaystyle x}$. ${\displaystyle {\vec {P}}}$ — гладкие функции ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle x}$ и производных ${\displaystyle u}$ по ${\displaystyle x}$.

Тривиальными законами сохранения называются законы сохранения

• для которых ${\displaystyle \mathrm {Div} {\vec {P}}=0}$ само по себе является тождеством без учёта каких-либо дифференциальных уравнений;
• или для которых ${\displaystyle {\vec {P}}}$ обращается в 0 сразу при подстановке дифференциальных уравнений, без вычисления дивергенции (сохраняется тождественный ноль на решениях);
• или для которых ${\displaystyle {\vec {P}}}$ есть линейная комбинация предыдущих типов.

Если для двух законов сохранения с функциями ${\displaystyle {\vec {P}}}$ и ${\displaystyle {\vec {R}}}$ разность ${\displaystyle {\vec {P}}-{\vec {R}}}$ даёт тривиальный закон сохранения, такие два закона сохранения называются эквивалентными.

Всякий закон сохранения эквивалентен закону сохранения в характеристической форме — то есть такому, для которого

${\displaystyle \mathrm {Div} {\vec {P}}={\vec {Q}}\cdot {\vec {\Delta }},}$

где ${\displaystyle \Delta }$ — выражения, которые входят в определение системы дифференциальных уравнений: ${\displaystyle {\vec {\Delta }}=0}$. Для описываемого случая ${\displaystyle \Delta _{\alpha }=E_{\alpha }(L)}$ и

${\displaystyle \mathrm {Div} {\vec {P}}=\sum _{\alpha }Q_{\alpha }E_{\alpha }(L).}$

${\displaystyle Q_{\alpha }}$ зависят от ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle x}$ и производных ${\displaystyle u}$ по ${\displaystyle x}$ и называются характеристиками закона сохранения.

Пусть имеется обобщённое векторное поле

${\displaystyle {\vec {v}}=\sum _{i=1}^{p}\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\sum _{\alpha =1}^{q}\varphi _{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.}$

«Обобщённое» понимается в том смысле, что ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \varphi }$ могут зависеть не только от ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle x}$, но и от производных ${\displaystyle u}$ по ${\displaystyle x}$.

Определение: ${\displaystyle {\vec {v}}}$ называется вариационной симметрией функционала ${\displaystyle S}$, если существует такой набор функций ${\displaystyle {\vec {\mathrm {B} }}({\vec {u}},{\vec {x}},\dots )}$, что

${\displaystyle \mathrm {pr} \,{\vec {v}}(L)+L\,\mathrm {Div} \,{\vec {\xi }}=\mathrm {Div} \,{\vec {\mathrm {B} }}.}$

${\displaystyle \mathrm {pr} \,{\vec {v}}}$ — продолжение ${\displaystyle {\vec {v}}}$. Продолжение учитывает, что действие ${\displaystyle {\vec {v}}}$ на ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle x}$ вызывает также инфинитезимальное изменение производных, и задаётся формулами

${\displaystyle \mathrm {pr} \,{\vec {v}}={\vec {v}}+\sum _{\alpha ,J}\varphi _{\alpha }^{J}{\frac {\partial }{\partial u_{J}^{\alpha }}}~,~\varphi _{\alpha }^{J}=D_{J}{\bigl (}\varphi _{\alpha }-\sum _{i}\xi ^{i}u_{i}^{\alpha }{\bigr )}.}$

В формуле для продолжения необходимо брать, кроме ${\displaystyle {\vec {v}}}$, слагаемые с такими ${\displaystyle \partial /\partial u_{J}^{\alpha }}$, для которых ${\displaystyle u_{J}^{\alpha }}$ входят в ${\displaystyle L}$ или, в общем случае, в то выражение, на которое продолжение действует.

Смысл определения вариационной симметрии состоит в том, что ${\displaystyle {\vec {v}}}$ — это инфинитезимальные преобразования, которые в первом порядке меняют функционал ${\displaystyle S}$ таким образом, что уравнения Эйлера — Лагранжа преобразуются в эквивалентные. Справедлива

теорема: если ${\displaystyle {\vec {v}}}$ является вариационной симметрией, то ${\displaystyle {\vec {v}}}$ является (обобщённой) симметрией уравнений Эйлера — Лагранжа:

${\displaystyle \mathrm {pr} \,{\vec {v}}\,\mathrm {E} _{\alpha }(L)\vert _{\mathrm {E} _{\alpha }(L)=0}=0.}$

Эта формула означает, что инфинитезимальные изменения выражений ${\displaystyle \mathrm {E} _{\alpha }(L)}$, записанные здесь в виде ${\displaystyle \mathrm {pr} \,{\vec {v}}\,\mathrm {E} _{\alpha }(L)}$, обращаются в 0 на решениях.

Набор функций ${\displaystyle Q_{\alpha }=\varphi _{\alpha }-\sum _{i}\xi ^{i}u_{i}^{\alpha }}$ (в обозначениях, данных выше) называется характеристикой векторного поля ${\displaystyle {\vec {v}}}$. Вместо ${\displaystyle {\vec {v}}}$ можно брать векторное поле

${\displaystyle {\vec {v}}_{Q}=\sum _{\alpha }Q_{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}},}$

которое называется эволюционным представителем ${\displaystyle {\vec {v}}}$.

${\displaystyle {\vec {v}}}$ и ${\displaystyle {\vec {v}}_{Q}}$ определяют по сути одну и ту же симметрию, поэтому, если известны характеристики ${\displaystyle Q_{\alpha }}$, можно считать, что тем самым задана и симметрия. Продолжение ${\displaystyle {\vec {v}}_{Q}}$ определяется аналогично продолжению ${\displaystyle {\vec {v}}}$, но формально проще, поскольку не нужно отдельно учитывать вклад от ${\displaystyle \xi }$.

Теорема Нётер устанавливает связь между характеристиками законов сохранения и характеристиками векторных полей.

Обобщённое векторное поле ${\displaystyle {\vec {v}}}$ определяет группу симметрий функционала ${\displaystyle S}$ в том и только в том случае, если его характеристика ${\displaystyle {\vec {Q}}}$ является характеристикой закона сохранения ${\displaystyle \mathrm {Div} {\vec {P}}=0}$ для соответствующих уравнений Эйлера — Лагранжа.