Квантовый эффект Холла

Если ограничить трёхмерный электронный газ в одном из направлений, таким образом, что в потенциальной яме (например, с ограничивающим потенциалом по оси Z) заполнен только один уровень размерного квантования, то говорят, что электронный газ стал двумерным. В этом случае движение в плоскости, перпендикулярной оси Z остаётся свободным и энергетический спектр ДЭГ выражается формулой:

${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k_{x}^{2}+k_{y}^{2})+E_{n},}$

где n = 0, 1, 2…, ${\displaystyle m}$ — эффективная масса квазичастиц (электронов или дырок). Только если заполнен основной уровень размерного квантования (первая подзона размерного квантования) говорят о формировании ДЭГ[6].

На классические заряженные частицы, движущиеся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Эта сила заставляет частицу двигаться по окружности с угловой скоростью ${\displaystyle \omega _{c}=eB/mc}$, называемой циклотронной частотой (система единиц СГС). Согласно квантовой теории частицы, совершающие периодическое движение, обладают только дискретными значениями энергии, поэтому у заряженных частиц в магнитном поле появляются уровни энергии, называемые уровнями Ландау. Энергия k-го уровня, если пренебречь составляющей импульса ${\displaystyle p_{z}}$ и наличием спина у частицы, определяется выражением[7]

${\displaystyle E_{k}=\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega _{c}.}$

Энергетический спектр двумерного электронного газа становится полностью дискретным и каждый энергетический уровень обладает следующим вырождением (число орбит, которые могут принадлежать уровню Ландау)

${\displaystyle N_{H}={\frac {S}{2s_{0}}}={\frac {SeB}{\hbar c}}={\frac {S}{2\pi l_{B}^{2}}}={\frac {BS}{\Phi _{0}}},}$ (1)

где Ф₀ — квант магнитного потока. Это аналогично плотной упаковке циклотронных орбит в двумерном слое. Эту же величину можно получить, если представить, что из всех частиц ДЭГ, расположенных в интервале энергий, равных ħω_с (то есть произведение двумерной плотности состояний ${\displaystyle D_{0}={\frac {m}{\pi \hbar ^{2}}}}$ на энергию ħω_с), формируется отдельный уровень Ландау.

Концентрация электронов в ДЭГ в магнитном поле определяется по формуле ${\displaystyle n_{s}=NN_{H}}$, если уровень Ферми попадает в щель между уровнями Ландау. В общем случае частичное заполнение одного из уровней Ландау характеризуется так называемым фактором заполнения ${\displaystyle \nu ={\frac {n_{s}}{N_{H}}}={\frac {n_{s}h}{eB}}}$ — отношение концентрации ДЭГ к вырождению уровней Ландау. Он может принимать как целые, так и дробные значения[6].

Явление, открытое Холлом в 1879 году, состоит в том, что в проводнике с током, помещённом в магнитное поле, перпендикулярное направлению тока, возникает электрическое поле в направлении, перпендикулярном направлениям тока и магнитного поля. Сила Лоренца F_L = eBv заставляет электроны отклоняться в направлении, перпендикулярном их скорости v. В результате происходит накопление разноимённых зарядов на краях проводника, и между боковыми гранями образца возникнет разность потенциалов V_H, а внутри него — электрическое поле E_H, называемое полем Холла и уравновешивающее силу Лоренца.

Ток через образец равен I = nevS, где n — концентрация электронов, S — площадь поперечного сечения проводника: S = bd, где b — его ширина, d — толщина.

Условие равенства силы Лоренца и силы, вызванной холловским полем, есть eE_H = eV_H/b = evB. Отсюда следует, что V_H = bvB = IvB/nevd = IB/end = IR_H, где R_H называется холловским сопротивлением. В двумерных системах R_H = B/en_s, где n_s — поверхностная концентрация электронов.

Важно отметить, что R_H — это отношение возникающей поперечной разности потенциалов к продольному току, R_H = R_xy = V_y/I_x. При этом продольное сопротивление R_L = R_xx = V_x/I_x, слабо зависит от индукции магнитного поля, оставаясь по величине близким к своему значению при B = 0[8].

Геометрия измерения квантового эффекта Холла. R_H=V₃₅/I₁₂ R_L=V₃₄/I₁₂

Для наблюдения эффекта гетероструктуру со сформированным двумерным электронным газом помещают в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости электронного газа. При пропускании тока через образец измеряют ток, а также возникающее напряжение вдоль и поперёк образца.

Электроны дрейфуют вдоль линий постоянной энергии, формируя локализованные и краевые токовые состояния

Целочисленный квантовый эффект Холла может быть просто интерпретирован на основе модели краевых состояний. Как правило, экспериментальный образец с двумерным электронным газом имеет границу, задаваемую литографическим краем или краем области под затвором. Возле края формируется обедняющее электрическое поле, направленное к краю (речь идёт об отрицательно заряженных электронах). Оно приводит к зависимости нуля отсчёта уровней Ландау от координаты, поэтому уровни Ландау «изгибаются» вверх вблизи края. Как известно в скрещенных магнитном и электрическом полях заряженная частица дрейфует вдоль линии постоянной энергии — эквипотенциали. Электроны заполняют состояния согласно статистике Ферми — Дирака до некоторого уровня Ферми, и при факторе заполнения ${\displaystyle \nu }$, близком к целочисленному значению вдали от краёв формируются локализованные состояния, не участвующие в проводимости, а вблизи краёв — краевые токовые состояния. Причем ток на противоположных берегах двумерного электронного газа имеет противоположное направление, а направление обхода однозначно задаётся знаком квантующего магнитного поля. Ток переносимый каждым краевым состоянием квантован и равен ${\displaystyle {\frac {e^{2}}{h}}\mu }$, где ${\displaystyle \mu }$ — значение электрохимического потенциала. А число краевых каналов целое и определяется фактором заполнения ${\displaystyle \nu }$. В этом случае, когда локализованные и подвижные состояния на уровне Ферми пространственно разделены и обратное рассеяние подавлено, реализуется режим квантового эффекта Холла.

Дефекты, примеси и другие неоднородности в кристалле, которые локализуют, «изолируют» отдельные электроны в «ловушках», являются причиной возникновения широких плато на графиках холловского сопротивления и широких минимумов омического сопротивления. На поверхности кристалла остаются дефекты и примеси, которые порождают энергетические «долины» и «холмы». Когда уровень Ландау оказывается заполненным, некоторые из них попадают в ловушку и изолируются. Они больше не принимают участие в процессах электропроводности через кристалл. Локализованные электроны первыми заполняют и освобождают уровни Ландау при изменении магнитного поля, поддерживая точное заполнение уровней Ландау в энергетически гладкой области кристалла для протяженных интервалов величины магнитного поля. При этом холловское сопротивление образца и магнитосопротивление остаются постоянными. Локализованные благодаря дефектам кристалла электроны представляют собой хранилище необходимых для точного заполнения уровней Ландау носителей в энергетически гладкой области кристалла для конечного интервала напряженностей магнитных полей. Само существование целочисленного квантового эффекта Холла зависит от наличия дефектов в кристалле. Без неоднородностей в кристалле, «идеально чистая» система приводила бы к линейному эффекту Холла, без квантованности[9].

• О. В. Кибис «Квантовый эффект Холла» // СОЖ 9, 89 (1999).
• Laughlin R. B. Quantized Hall conductivity in two dimensions // Phys. Rev. B — 1981. — Vol. 23 — P. 5632. doi:10.1103/PhysRevB.23.5632
• Halperin B. I. Quantized Hall conductance, current-carrying edge states, and the existence of extended states in a two-dimensional disordered potential // Phys. Rev. B — 1982. — Vol. 25 — P. 2185. doi:10.1103/PhysRevB.25.2185
• Quantum Hall Effect Observed at Room Temperature, Magnet Lab Press Release (англ.)