Энергия Ферми

Для важного случая электронов в металле при всех разумных температурах ${\displaystyle T}$ можно считать ${\displaystyle kT\ll \mu }$, где ${\displaystyle \mu }$ - химический потенциал при данной температуре, ${\displaystyle k}$ - постоянная Больцмана. Такую ситуацию называют вырожденным ферми-газом. (В другом предельном случае ${\displaystyle kT\gg \mu }$ ферми-газ называют невырожденным, числа заполнения невырожденного ферми-газа малы и его можно описывать классической больцмановской статистикой.)

Энергия Ферми свободного ферми-газа связана с химическим потенциалом уравнением

${\displaystyle \mu =E_{F}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2}+{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{4}+\ldots \right],}$

Следовательно, химический потенциал приблизительно равен энергии Ферми при температурах намного меньше характерной температуры Ферми ${\displaystyle E_{F}/k}$. Характерная температура имеет порядок 10⁴ K для металла, следовательно, при комнатной температуре (300 K), энергия Ферми и химический потенциал фактически эквивалентны. Это существенно, потому что химический потенциал не является энергией Ферми, которая входит в распределение Ферми — Дирака [1]

${\displaystyle {{f}_{FD}}\left(E-\mu \right)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{kT}}\right)+1}}.}$

При температуре ${\displaystyle T\to 0}$ и энергии фермиона ${\displaystyle E}$, равной ${\displaystyle E_{F}}$, функция распределения Ферми-Дирака стремится к значению ${\displaystyle {{f}_{FD}}\left(E_{F}-\mu (T)\right)\to {\frac {1}{2}}}$. При низких температурах ${\displaystyle kT\ll {{E}_{F}}}$ граница заполнения энергетических состояний ${\displaystyle E=E_{F}}$ симметрично размывается на величину порядка ${\displaystyle kT}$. При этом вероятность заполнения электронных состояний с энергией Ферми ${\displaystyle {{f}_{FD}}\left(E_{F}-\mu \right)\approx 1/2}$. При высоких температурах размытие становится несимметричным, а значение химического потенциала смещается в область низких энергий[1].

В качестве уровня Ферми при ${\displaystyle kT\ll {{E}_{F}}}$ можно выбрать уровень, заполненный ровно наполовину (то есть уровень состояния, вероятность заполнения которого частицей равна 1/2).

Концентрация электронов проводимости в вырожденных полупроводниках связана с расстоянием от края частично заполненной энергетической зоны до уровня Ферми. Эту положительную величину иногда тоже называют энергией Ферми, по аналогии с энергией Ферми свободного электронного газа, которая, как известно, положительна.

В металлах обычно имеется несколько частично заполненных энергетических зон, поэтому указать точный вид зависимости концентрации свободных носителей заряда от положения уровня Ферми не представляется возможным.

• Квазиуровень Ферми

• Гусев В. Г., Гусев Ю. М. Электроника. — М.: Высшая школа, 1991. — С. 53. — ISBN 5-06-000681-6.