Перенормировка

Проблема бесконечностей впервые возникла в классической электродинамике точечных частиц в XIX и начале XX века.

Масса заряженной частицы должна включать энергию-массу, содержащуюся в электростатическом поле частицы (электромагнитную массу). Пусть частица с зарядом q представляет собой заряженную сферическую оболочку радиуса ${\displaystyle r_{e}}$. Энергия поля выражается как

${\displaystyle m_{\mathrm {em} }c^{2}=\int {1 \over 2}\left(\varepsilon _{0}E^{2}\right)\,dV={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\int \limits _{r_{e}}^{\infty }\left({q \over 4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}\right)^{2}4\pi r^{2}\,dr={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}{q^{2} \over r_{e}}}$

и становится бесконечной, когда ${\displaystyle r_{e}}$ стремится к нулю. Это приводит к тому, что точечная частица должна обладать бесконечной инерцией и, следовательно, не может находиться в ускоренном движении. Значение ${\displaystyle r_{e}}$, при котором ${\displaystyle m_{\mathrm {em} }}$ равняется половине массы электрона, называется классическим радиусом электрона, который (полагая ${\displaystyle q=e}$) оказывается равным

${\displaystyle r_{e}={e^{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}m_{\mathrm {e} }c^{2}}=\alpha {\hbar \over m_{\mathrm {e} }c}\approx 2{,}8\times 10^{-15}\ }$ м,

где ${\displaystyle \alpha \approx 1/137}$ — постоянная тонкой структуры, а ${\displaystyle \hbar /m_{\mathrm {e} }c}$ — комптоновская длина волны электрона.

Полная масса сферической заряженной частицы должна включать «голую» массу сферической оболочки (в добавление к вышеупомянутой «электромагнитной» массе, связанной с её электрическим полем). Если формально позволить «голой» массе принимать отрицательные значения, оказывается возможным получить согласующуюся с экспериментом массу электрона даже в пределе нулевого радиуса оболочки. Этот приём был назван перенормировкой. Лоренц и Абрахам предприняли попытку разработать классическую теорию электрона именно в таком ключе. Эта ранняя работа вдохновила более поздние попытки регуляризации и перенормировки в квантовой теории поля.

При вычислении электромагнитных взаимодействий заряженных частиц существует соблазн пренебречь самодействием — действием поля частицы на неё саму. Но самодействие необходимо, чтобы объяснить радиационное трение: торможение заряженных частиц, когда они испускают излучение. Если считать электрон точечным, то значение самодействия расходится по тем же причинам, по которым расходится и электромагнитная масса, поскольку поле обратно пропорционально квадрату расстояния от источника.

Теория Абрахама — Лоренца включает в себя некаузальное (нарушающее принцип причинности) «предускорение»: существует решение уравнений движения, согласно которому свободный электрон может начать ускоряться без приложения к нему какой-либо силы. Это признак того, что точечный предел несовместим с реальностью.

После построения в конце 1920-х годов релятивистской квантовой механики и первых удачных вычислений в рамках этой теории были предприняты попытки провести расчёты и перенормировки таких параметров, как масса и заряд электрона. Однако они сразу же наткнулись на серьёзную трудность: согласно формулам квантовой теории поля и заряд, и масса электрона изменяются при взаимодействии с электромагнитным полем на бесконечную величину.

В квантовой теории поля проблема расходимости менее выражена, чем в классической, поскольку в квантовой теории поля заряженная частица испытывает колебания вокруг среднего положения (так называемый Zitterbewegung) благодаря интерференции с виртуальными парами частица-античастица (то есть между состояниями с положительной и отрицательной энергией), вследствие чего заряд эффективно размывается по области, сравнимой по размерам с комптоновской длиной волны. Поэтому в квантовой теории электромагнитная масса расходится лишь как логарифм радиуса частицы.

Эта проблема стояла перед физиками около 20 лет, и только к концу 1940-х годов усилиями Фейнмана, Швингера и Томонаги удалось понять, что же было неправильным в подходе к перенормировкам. Они построили теорию, свободную от бесконечностей — квантовую электродинамику (КЭД), и расчёты в рамках этой теории были в дальнейшем подтверждены экспериментально.