Zitterbewegung

Движение свободного релятивистского электрона можно описать уравнением Шрёдингера

${\displaystyle H\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)}$

где

${\displaystyle H=\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c}$

— гамильтониан Дирака.

Тогда для описания зависимости любого оператора Q от времени справедливо:

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial Q(t)}{\partial t}}=\left[H,Q\right]\,\!\;.}$

В частности, для производной по времени от оператора координаты ${\displaystyle x_{k}(t)}$

${\displaystyle \hbar {\frac {\partial x_{k}(t)}{\partial t}}=i\left[H,x_{k}\right]=\alpha _{k}\,\!\;.}$

Полученное уравнение показывает, что оператор ${\displaystyle \alpha _{k}}$ можно интерпретировать как k-ю компоненту оператора скорости.

Зависимость этого оператора от времени описывается, в свою очередь, выражением

${\displaystyle \hbar {\frac {\partial \alpha _{k}(t)}{\partial t}}=i\left[H,\alpha _{k}\right]=2ip_{k}-2i\alpha _{k}H\,\!\;.}$

Поскольку ${\displaystyle p_{k}}$, и ${\displaystyle H}$ не зависят от времени, вышеприведённое уравнение можно дважды проинтегрировать по ${\displaystyle t}$, получив следующую зависимость оператора координаты от времени:

${\displaystyle x_{k}(t)=x_{k}(0)+c^{2}p_{k}H^{-1}t+{1 \over 2}i\hbar cH^{-1}(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1})(e^{-2iHt/\hbar }-1).}$

В получившееся выражение входит начальное положение, пропорциональное времени движение и дополнительный член, соответствующий осцилляциям с амплитудой, равной комптоновской длине волны. Это осциллирующее слагаемое — так называемый «Zitterbewegung».

Заметим, что это слагаемое исчезает, если допустить, что волновой пакет состоит из волн только с положительной энергией. Таким образом, «Zitterbewegung» можно интерпретировать как результат интерференции между компонентами волны с положительной и отрицательной энергиями.

Есть и точка зрения, что уравнение Дирака в этом случае нельзя, подобно уравнению Шредингера, рассматривать как обычное квантовомеханическое описание одной частицы. Движение заряда со скоростью света описывается уравнением Дирака как очень сложное возбужденное состояние с фазовыми взаимосвязями между частицами и античастицами.[1]

В 2009 году учёные экспериментально наблюдали явление Zitterbewegung, подтвердив предсказание Шрёдингера.[2][3]

1. В. Тирринг Принципы квантовой электродинамики. М., Высшая школа, 1964. - с. 87-89
2. R. Gerritsma et al. Quantum simulation of the Dirac equation // Nature. — 2010. — Т. 463. — С. 68-71. — doi:10.1038/nature08688.
3. Physicists catch sight of trembling particle, physicsworld.com (10 января 2010). Архивировано 9 января 2010 года.

• E. Schrödinger, Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik («On the free movement in relativistic quantum mechanics»), Berliner Ber., pp. 418—428 (1930); Zur Quantendynamik des Elektrons, Berliner Ber, pp. 63-72 (1931)

• A. Messiah, Quantum Mechanics Volume II, Chapter XX, Section 37, pp. 950—952 (1962)

• Observing Zitterbewegung in Ultracold Atoms