Оператор эволюции

Оператор эволюции (генератор эволюции во времени)— оператор в квантовой механике, заданный на гильбертовом пространстве, который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой.

Связь оператора эволюции с оператором Гамильтона

Оператор эволюции связан с оператором Гамильтона следующими формулами:

где  — операторы упорядочивания и анти-упорядочивания по времени.

В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:

Свойства оператора эволюции

1. [1] — унитарный оператор.

2. .

3. [2], где  — единичный оператор.

Вывод соотношения между оператором эволюции и гамильтонианом

Согласно постулатам квантовой механики чистое состояние системы описывается вектором из гильбертова пространства . Введём оператор , который действует по правилу:

.

Введённый оператор должен быть унитарным, чтобы нормировка вектора состояния сохранялась во времени. В представлении Шрёдингера вектор состояния удовлетворяет уравнению Шрёдингера:

где  — оператор Гамильтона.

Если гамильтониан не зависит от времени, то  — является решением уравнения Шрёдингера. Отсюда следует, что оператор эволюции имеет вид:

.

Теперь пусть оператор Гамильтона зависит от времени и пусть . Тогда разобьём рассматриваемый промежуток времени на интервалы и будем считать, что в каждом из этих интервалов оператор Гамильтона постоянен , при . Тогда в любой момент времени, согласно предыдущим рассуждениям, вектор состояния имеет вид:

.

Теперь введём оператор упорядочивания по времени , который действует по следующему правилу:

при , для любой перестановки .

С учётом этого волновую функцию можно написать в виде:

.

Для коммутирующих операторов справедливо, что . Так как операторы под знаком T-упорядочивания коммутируют, то последнее переписывается в виде:

.

При получаем, что

.

Поэтому

.

Теперь рассмотрим оператор при . Это то же самое, если рассмотреть при . Воспользуемся тем, что ,

где  — единичный оператор.

Тогда:

и непосредственной проверкой убеждаемся, что

,

где  — оператор анти-упорядочивания по времени.

Примечания

  1. Оператор эволюции должен быть унитарным, чтобы нормировка вектора состояния сохранялась во времени .
  2. Свойство 3 является следствием свойства 2.

См. также

Литература

  • Stefanucci, Gianluca. Nonequilibrium many-body theory of quantum systems : a modern introduction / Gianluca Stefanucci, Robert van Leeuwen. — Cambridge : Cambridge University Press, 2013. — P. 81—85. — ISBN 9781139023979.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.