Тензор электромагнитного поля

Тензор электромагнитного поля определяется через 4-потенциал по формуле

${\displaystyle \mathrm {F} _{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}.}$

Хотя он выражается через обычные производные, а не ковариантные, он является тензором относительно произвольных преобразований координат. Это следует из того, что то же выражение можно записать через ковариантные производные:

${\displaystyle \mathrm {F} _{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}=\nabla _{\mu }A_{\nu }-\nabla _{\nu }A_{\mu }.}$

Если рассматривать 4-потенциал как 1-форму на пространстве-времени, то тензор электромагнитного поля выражается как внешняя производная

${\displaystyle F=\mathbf {d} A.}$

Отсюда также очевидна его инвариантность.

• ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ — антисимметричный тензор 2-го ранга, имеет 6 независимых компонент.
• Преобразования координат сохраняют два инварианта, следующих из тензорных свойств поля[1]:

${\displaystyle \ F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=2(B^{2}-E^{2})={\text{inv}},}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\varepsilon ^{\mu \nu \sigma \rho }F_{\mu \nu }F_{\sigma \rho }=-4\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)={\text{inv}}.}$

Ковариантные компоненты тензора электромагнитного поля имеют вид

${\displaystyle F_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.}$

Такая зависимость антисимметричного тензора от двух векторов условно записывается как

${\displaystyle F_{\mu \nu }=(\mathbf {E} ,\mathbf {B} ).}$

Контравариантные компоненты (в пространстве с метрикой Минковского) имеют вид

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}},}$

что обозначается как

${\displaystyle F^{\mu \nu }=(-\mathbf {E} ,\mathbf {B} ).}$

Таким образом, оказывается, что векторы электрического и магнитного полей преобразуются в общем случае линейных преобразований не как векторы, а как компоненты тензора типа (0, 2). Закон их преобразований при переходе в систему отсчёта, движущуюся со скоростью V вдоль оси X, имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{x}&=E_{x}',&E_{y}&={\frac {E_{y}'+{\frac {V}{c}}B_{z}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},&E_{z}&={\frac {E_{z}'-{\frac {V}{c}}B_{y}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},\\B_{x}&=B_{x}',&B_{y}&={\frac {B_{y}'-{\frac {V}{c}}E_{z}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}},&B_{z}&={\frac {B_{z}'+{\frac {V}{c}}E_{y}'}{\sqrt {1-{\frac {V^{2}}{c^{2}}}}}}.\end{aligned}}}$

Непосредственно из определения следует, что

${\displaystyle \mathbf {d} F=0.}$

В компонентах это выражение принимает вид

${\displaystyle \varepsilon _{\mu \rho \nu \sigma }{\frac {\partial F_{\mu \rho }}{\partial x^{\nu }}}={\frac {\partial F_{\mu \rho }}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial F_{\rho \nu }}{\partial x^{\mu }}}+{\frac {\partial F_{\nu \mu }}{\partial x^{\rho }}}=0,}$

где ${\displaystyle \varepsilon _{\mu \rho \nu \sigma }}$ — символ Леви-Чивиты для 4-мерного пространства. Если расписать это выражение через компоненты векторов электрического и магнитного поля, то оно совпадёт с первой парой уравнений Максвелла:

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {B} =0,}$

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Вторая пара уравнений Максвелла выражается через тензор электромагнитного поля как

${\displaystyle \nabla _{\nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {4\pi }{c}}j^{\mu },}$

где ${\displaystyle j^{\mu }}$ — вектор 4-тока.

Также можно записать их через звёздочку Ходжа:

${\displaystyle d*F={\frac {4\pi }{c}}J.}$

Сила Лоренца выражается через вектор 4-скорости частицы и заряд по формуле

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\nu }=qF^{\mu \nu }u_{\mu }.}$

• Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.