Звезда Ходжа

Определим форму объёма

${\displaystyle \Omega =f(X)dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{n-1}}$

${\displaystyle \Omega _{M_{1}\ldots M_{n}}=f(X)\varepsilon _{M_{1}\ldots M_{n}}}$

где ${\displaystyle f(X):M\to \mathbb {R} }$ — неотрицательный скаляр на многообразии ${\displaystyle M}$, а ${\displaystyle \varepsilon _{M_{1}\ldots M_{n}}}$ — полностью антисимметричный символ. ${\displaystyle \varepsilon _{0\ldots n-1}=+1}$. Даже в отсутствие метрики, если ${\displaystyle f(X)>0}$, можно определить контравариантые компоненты формы объёма.

${\displaystyle {\check {\Omega }}={\frac {1}{f(X)}}{\frac {\partial }{\partial {X^{0}}}}\wedge \cdots \wedge {\frac {\partial }{\partial {}{X^{n-1}}}}}$

${\displaystyle {\check {\Omega }}^{M_{1}\ldots M_{n}}=f^{-1}(X)\varepsilon ^{M_{1}\ldots M_{n}}}$

здесь антисимметричный символ ${\displaystyle \varepsilon ^{M_{1}\ldots M_{n}}}$ совпадает ${\displaystyle \varepsilon _{M_{1}\ldots M_{n}}}$.

В присутствии метрики ${\displaystyle \Omega }$ с поднятыми индексами может отличаться от ${\displaystyle {\check {\Omega }}}$ на знак: ${\displaystyle \Omega =\sigma {\check {\Omega }}}$. Здесь и далее ${\displaystyle \sigma =\operatorname {sgn} \det(g_{mk})}$

Введём операцию антисимметризации:

${\displaystyle A_{[m_{1}\ldots m_{q}]}={\frac {1}{q!}}\sum _{\sigma (m_{1}\ldots m_{q})}(-1)^{\operatorname {sgn}(m_{1}\ldots m_{q})}A_{\sigma (m_{1}\ldots m_{q})}}$. Суммирование ведётся по всем перестановкам ${\displaystyle \sigma (m_{1}\ldots m_{q})}$ индексов, заключённых в квадратные скобки, с учётом их чётности ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$. Аналогично определяется антисимметризация верхних индексов; антисимметризовать можно только по группе индексов одного типа. Примеры: ${\displaystyle A_{k[lm]}={\frac {1}{2!}}(A_{klm}-A_{kml})}$; ${\displaystyle A_{k}^{[l}B_{p}^{m]}={\frac {1}{2!}}(A_{k}^{l}B_{p}^{m}-A_{k}^{m}B_{p}^{l})}$.

Разберёмся теперь с операцией свёртки. При свёртке набора антисимметричных индексов удобно ввести следующее обозначение:

${\displaystyle A^{A\ldots \lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor B\ldots }{}_{C\ldots \lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor D\ldots }={\frac {1}{k!}}A^{A\ldots K_{1}\ldots K_{k}B\ldots }{}_{C\ldots K_{1}\ldots K_{k}D\ldots }}$.

Если тензор антисимметричен как по верхним, так и по нижним сворачиваемым индексам, можно вести суммирование по индексам, заключённым в скобки ${\displaystyle \lfloor \;\rfloor }$ только по упорядоченным наборам не деля на ${\displaystyle k!}$, это связано с тем, что разные наборы индексов ${\displaystyle K_{1}\ldots K_{k}}$, отличающиеся лишь порядком индексов дают одинаковый вклад в сумму.

Определим теперь тензоры:

${\displaystyle (A,B)_{M_{k+1}\ldots M_{q}}^{(k)}{}^{N_{k+1}\ldots N_{p}}=A_{\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor M_{k+1}\ldots M_{q}}B^{\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor N_{k+1}\ldots N_{p}}}$

${\displaystyle (A,B)_{M_{1}\ldots M_{q-k}}^{\underline {(k)}}{}^{N_{1}\ldots N_{p-k}}=A_{M_{1}\ldots M_{q-k}\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor }B^{N_{1}\ldots N_{p-k}\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor }}$

Индекс (k) указывает число индексов, по которым проводилась свёртка. Там где это не может привести к неоднозначности, (k) будет опускаться. Вышеприведённые тензоры могут отличаться (а могут и не отличаться) только на знак.

Используя форму объёма ${\displaystyle \Omega }$ и поливектор ${\displaystyle {\check {\Omega }}}$, можно ввести операцию ${\displaystyle *}$, превращающую поливектор ${\displaystyle B}$ степени ${\displaystyle p}$ в дифференциальную форму ${\displaystyle *B}$ степени ${\displaystyle n-p}$, и обратную операцию ${\displaystyle *^{-1}}$, превращающую форму ${\displaystyle A}$ степени ${\displaystyle q}$ в поливектор ${\displaystyle *^{-1}A}$ степени ${\displaystyle n-q}$

${\displaystyle *B=(\Omega ,B)^{(p)}}$

${\displaystyle *^{-1}A=(A,{\check {\Omega }})^{\underline {(q)}}}$

Эта операция называется звездой Ходжа или дуальностью Ходжа. В компонентах она выглядит следующим образом:

${\displaystyle (*B)_{m_{q+1}\ldots m_{n}}={\frac {f(X)}{q!}}B^{m_{1}\ldots m_{q}}\varepsilon _{m_{1}\ldots m_{n}}}$

Поскольку ${\displaystyle *^{-1}*B=B}$ и ${\displaystyle **^{-1}A=A}$, то мы установили взаимно-однозначное соответствие между дифференциальными формами степени q и поливекторами степени n-q

Помимо операторов ${\displaystyle *}$ и ${\displaystyle *^{-1}}$ введём пару операторов: ${\displaystyle {\check {*}}}$ и ${\displaystyle {\check {*}}^{-1}}$, отличающихся от них знаком.

${\displaystyle {\check {*}}B=(\Omega ,B)^{\underline {(p)}}}$

${\displaystyle {\check {*}}^{-1}A=(A,{\check {\Omega }})^{(q)}}$

Пусть на нашем многообразии размерности n задана метрика ${\displaystyle g_{mk}}$. Обозначим ${\displaystyle g=\det(g_{mk})}$.

Элементом объёма или формой объёма порождённой метрикой ${\displaystyle g_{mk}}$ называется форма ${\displaystyle \Omega ={\sqrt {|g|}}dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{n-1}={\sqrt {|g|}}dX^{n}}$ В компонентах:

${\displaystyle \Omega _{m_{1}\ldots m_{n}}={\sqrt {|g|}}\varepsilon _{m_{1}\ldots m_{n}}}$

${\displaystyle \Omega ^{m_{1}\ldots m_{n}}={\frac {\sqrt {|g|}}{g}}\varepsilon ^{m_{1}\ldots m_{n}}={\frac {\operatorname {sgn}(g)}{\sqrt {|g|}}}\varepsilon ^{m_{1}\ldots m_{n}}}$

Поскольку у нас есть метрика, мы можем устроить канонический изоморфизм между поливекторами и дифференциальными формами:

${\displaystyle A_{m_{1}\ldots m_{n}}=A^{l_{1}\ldots l_{n}}g_{m_{1}l_{1}}\cdots g_{m_{n}l_{n}}}$

Поэтому мы можем установить взаимно однозначное соответствие между q-формами и (n-q)-формами. ${\displaystyle (*A)_{m_{q+1}\ldots m_{n}}={\frac {1}{q!}}\Omega _{m_{1}\ldots m_{n}}A_{l_{1}\ldots l_{q}}g^{m_{1}l_{1}}\cdots g^{m_{q}l_{q}}}$