Коалгебра

Коалгебра над полем K — это векторное пространство C над K вместе с K-линейными отображениями ${\displaystyle \Delta :C\to C\otimes _{K}C}$ и ${\displaystyle \epsilon :C\to K}$, такими что

1. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$
2. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{C}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$.

(Здесь ${\displaystyle \otimes }$ и ${\displaystyle \otimes _{K}}$ означает тензорное произведение над K.)

Эквивалентно, следующие две диаграммы коммутируют:

На первой диаграмме мы отождествляем ${\displaystyle C\otimes (C\otimes C)}$ с ${\displaystyle (C\otimes C)\otimes C}$ как два естественно изоморфных пространства.[1] Аналогично, на второй диаграмме отождествлены естественно изоморфные пространства ${\displaystyle C}$ , ${\displaystyle C\otimes K}$ и ${\displaystyle K\otimes C}$.[2]

Первая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей ассоциативность операции умножения алгебры (и называется коассоциативностью коумножения); вторая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей существование мультипликативного нейтрального элемента. Соответственно, отображение Δ называется коумножением (или копроизведением) в C, а ε является коединицей C.

Рассмотрим множество S и образуем векторное пространство над K с базисом S. Элементами этого векторного пространства являются такие функции из S в K которые отображают все элементы S, кроме конечного числа, в ноль; мы отождествим элемент s из S с функцией которая отображает s в 1 и все остальные элементы S в 0. Мы будем обозначать это пространство как C. Мы определим

${\displaystyle \Delta (s)=s\otimes s\quad {\mbox{ and }}\quad \epsilon (s)=1\quad \forall s\in S.}$

Δ и ε могут быть единственным образом продолжены на всё C по линейности. Векторное пространство C становится коалгеброй с коумножением Δ и коединицей ε (проверка этого является хорошим способом, чтобы привыкнуть к использованию аксиом коалгебры).

В конечномерном случае, двойственность между алгеброй и коалгеброй ближе: объект, двойственный к конечномерной (унитарной ассоциативной) алгебре есть коалгебра, а двойственный к конечномерной коалгебре есть (унитарная ассоциативная) алгебра. Вообще же говоря, объект, двойственный к алгебре, может не быть коалгеброй.

Это следует из того, что, для конечномерных пространств, (A ⊗ A)* и A* ⊗ A* изоморфны.

Ещё раз: алгебра и коалгебра — двойственные понятия (аксиомы, определяющие одну, получаются из аксиом другой обращением стрелок), тогда как для конечномерных пространств они являются ещё и двойственными объектами.

• Алгебра Хопфа
• Косвободная коалгебра

• Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin & Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras, vol. 235 (1st ed.), Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9.
• Yokonuma, Takeo (1992), Tensor spaces and exterior algebra, vol. 108, Translations of mathematical monographs, AMS Bookstore, ISBN 9780821845646.
• Bourbaki, Nicolas. Algebra (неопр.). — Springer-Verlag, 1989. — ISBN 0-387-19373-1.. Chapter III, section 11.

• William Chin: A brief introduction to coalgebra representation theory