Косвободная коалгебра

Пусть V векторное пространство над полем F, тогда косвободной коалгеброй C(V) пространства V называется коалгебра вместе с линейным отображением C(V)→V, таким, что линейное отображение из X в V пропускается через C(V) гомоморфизмом коалгебр из X в C(V). Другими словами функтор C сопряжён справа к забывающему функтору из коалгебр в векторные пространства. Косвободная коалгебра векторного пространства всегда существует и единственна с точностью до изоморфизма.

Определение косвободной кокомутативной коалгебры аналогично, и она может быть построена как наибольшая кокомутативная подалгебре в C(V).

C(V) может быть построено как пополнение тензорной коалгебры T(V) пространства V. В дополнении к структуре градуированной алгебры на T(V) имеется структура градуированной коалгебры Δ : T(V) → T(V) ⊗ T(V) определённая на образующих как

${\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{k}):=\sum _{j=0}^{k}(v_{1}\otimes \dots \otimes v_{j})\otimes (v_{j+1}\otimes \dots \otimes v_{k})}$

Это отображение продолжается на всё T(V) по линейности. Построенное копроизведение в сочетании с обычным произведением на T(V) не даёт структуру биалгебры.

Каноническое невырожденное спаривание T(V) и T(V^∗)

${\displaystyle T^{k}V\times T^{k}V^{*}\to \mathbb {F} }$

индуцирует на T(V) введённое нами коумножение по двойственности к умножению на T(V^∗), то есть

${\displaystyle \Delta (f)(a\otimes b)=f(ab).}$

Данная двойственность продолжается на невырожденное спаривание

${\displaystyle {\hat {T}}(V)\times T(V^{*})\to \mathbb {F} ,}$

где

${\displaystyle {\hat {T}}(V)=\prod _{k\in \mathbb {N} }T^{k}V}$

является прямым произведением тензорных степеней V. Однако, копроизведение Δ на T(V) продолжается на отображение

${\displaystyle {\hat {\Delta }}\colon {\hat {T}}(V)\to {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V)}$

со значениями в пополненном тензорном произведении, которым в этом случае является

${\displaystyle {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V)=\prod _{j,k\in \mathbb {N} }T^{j}V\otimes T^{k}V,}$

В него тавтологически вкладывается тензорное произведение:

${\displaystyle {\hat {T}}(V)\otimes {\hat {T}}(V)=\{X\in {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V)|\exists \,k\in \mathbb {N} ,f_{j},g_{j}\in {\hat {T}}(V):X={\textstyle \sum }_{j=0}^{k}(f_{j}\otimes g_{j})\}.}$

Расширение тензорной коалгебры C(V) это наибольшее расширение C удовлетворяющее условию

${\displaystyle T(V)\subseteq C\subseteq {\hat {T}}(V),{\hat {\Delta }}(C)\subseteq C\otimes C\subseteq {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V),}$

которое существует так как если C₁ и C₂ удовлетворяют этим условиям, то их сумма C₁ + C₂ также удовлетворяет.

Оказывается,[1] что C(V) является подмножеством всех представимых элементов:

${\displaystyle C(V)=\{f\in {\hat {T}}(V):{\hat {\Delta }}(f)\in {\hat {T}}(V)\otimes {\hat {T}}(V)\}.}$

Кроме того, по принципу конечности для коалгебр, любой f ∈ C(V) должен принадлежать конечномерной подалгебре C(V). Применяя двойственность с алгеброй T(V^∗), из этого следует, что f ∈ C(V) тогда и только тогда, когда ядро f на T(V^∗) состоит из двустороннего идеала конечной коразмерности. Другими словами,

${\displaystyle C(V)=\bigcup \{I^{0}\subseteq {\hat {T}}(V):I\triangleleft T(V^{*}),\,\mathrm {codim} \,I<\infty \}}$

является объединением аннуляторов I⁰ идеалов конечной коразмерности I в T(V^∗).

• Block, Richard E. & Leroux, Pierre (1985), Generalized dual coalgebras of algebras, with applications to cofree coalgebras, Journal of Pure and Applied Algebra Т. 36 (1): 15–21, ISSN 0022-4049, DOI 10.1016/0022-4049(85)90060-X
• Hazewinkel, Michiel (2003), Cofree coalgebras and multivariable recursiveness, Journal of Pure and Applied Algebra Т. 183 (1): 61–103, ISSN 0022-4049, DOI 10.1016/S0022-4049(03)00013-6