Биалгебра

Биалгебра — векторное пространство над полем, которое одновременно является унитальной ассоциативной алгеброй и коунитальной коассоциативной коалгеброй, так что алгебраическая и коалгебраическая структуры согласованы. А именно, коумножение и коединица являются гомоморфизмами унитальной алгебры, или, что эквивалентно, умножение и единица алгебры являются морфизмами коалгебры (эти утверждения эквивалентны, поскольку они выражаются одними и теми же коммутативными диаграммами).

Гомоморфизм биалгебр — это линейное отображение, которое является одновременно гомоморфизмом соответствующих алгебр и коалгебр. Из симметрии коммутативных диаграмм видно, что определение биалгебры является самодвойственным, поэтому, если возможно определить двойственное пространство к векторному пространству, на котором строится биалгебра (что всегда возможно, если оно конечномерно), то оно автоматически является биалгеброй.

Определение

Биалгеброй $(B,\nabla ,\eta ,\Delta ,\epsilon )$ с умножением $\nabla$ , единицей $\eta$ , коумножением $\Delta$ и коединицей $\epsilon$ над полем $K$ называется алгебраическая структура, обладающая следующими свойствами:

$B$ является векторным пространством над полем $K$ ;
заданы умножение, то есть линейное отображение $\nabla$ : $B\otimes B\rightarrow B$ над полем $K$ (или, что эквивалентно, полилинейное отображение $\nabla$ : $B\times B\rightarrow B$ над полем $K$ ) и единица, то есть линейное отображерние $\eta$ : $K\rightarrow B$ , так что $(B,\nabla ,\eta )$ является унитальной ассоциативной алгеброй;
заданы коумножение, то есть линейное отображение $\Delta$ : $B\rightarrow B\otimes B$ над полем $K$ , и коединица, то есть линейное отображение $\epsilon$ : $B\rightarrow K$ , так что $(B,\Delta ,\epsilon )$ является коунитальной коассоциативной коалгеброй;
выполняются условия совместимости, выраженные следующими коммутативными диаграммами:

согласованы умножение $\nabla$ и коумножение $\Delta$ [1]

где $\tau$ : $B\otimes B\rightarrow B\otimes B$ является линейным отображением, определенным как $\tau (x\otimes y)=y\otimes x$ для всех $x$ и $y$ в $B$ ,
согласованы умножение $\nabla$ и коединица $\epsilon$
согласованы коумножение $\Delta$ и единица $\eta$ [2]
согласованы единица $\eta$ и коединица $\epsilon$

Примечания

Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu. Hopf Algebras: An introduction. — 2001. — P. 147 & 148.
Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu. Hopf Algebras: An introduction. — 2001. — P. 148.

Ссылки

Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin & Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras: An introduction, vol. 235 (1st ed.), Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu. Hopf Algebras: An introduction. — 2001. — P. 147 & 148.

[2] Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu. Hopf Algebras: An introduction. — 2001. — P. 148.