Алгебра с единицей

Алгебра с единицей (также унитальная алгебра, калька с англ. unital algebra) — алгебра над кольцом, в которой существует нейтральный элемент по отношению к умножению (единица), то есть такой элемент ${\displaystyle 1}$, что для всех элементов ${\displaystyle x}$ алгебры выполняются равенства

${\displaystyle 1\cdot x=x\cdot 1=x}$

Это определение эквивалентно тому, что данная алгебра является моноидом по отношению к умножению. Как и в случае любого моноида, нейтральный элемент является единственным.

Многие ассоциативные алгебры, включая алгебры групп, полиномов и матриц, являются унитарными, если этим свойством обладают соответствующие кольца. Большинство функциональных алгебр, рассматриваемых в математическом анализе, напротив, свойством унитарности не обладают. К таковым относится, например, алгебра функций с интегрируемым квадратом и неограниченной областью определения, а также алгебра функций, являющихся бесконечно малыми на бесконечности (особенно функций с компактным носителем в некоторых некомпактных пространствах).

Пусть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — унитарные алгебры, тогда гомоморфизм ${\displaystyle f:A\to B}$ является унитарным, если он отображает нейтральный элемент ${\displaystyle A}$ в нейтральный элемент ${\displaystyle B}$.