Пондеромоторная сила

Вывод формулы пондеромоторной силы осуществляется следующим образом.

Рассмотрим частицу в неоднородном электрическом поле, колеблющемся с частотой ${\displaystyle \omega }$ в направлении оси x. Уравнение движения имеет вид

${\displaystyle {\ddot {x}}=g(x)\cos(\omega t).}$

Здесь мы пренебрегаем влиянием колебаний магнитного поля.

Если масштаб вариаций ${\displaystyle g(x)}$ достаточно велик, то траекторию частицы можно разделить на два компонента, отвечающих разным временным масштабам:[1]

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1},}$

где ${\displaystyle x_{0}}$ является дрейфовым движением, ${\displaystyle x_{1}}$ показывает быстрое колебательное движение. Предположим, что ${\displaystyle x_{1}\ll x_{0}}$. В рамках данного предположения воспользуемся разложением в ряд Тейлора:

${\displaystyle {\ddot {x}}_{0}+{\ddot {x}}_{1}=\left[g(x_{0})+x_{1}g'(x_{0})\right]\cos(\omega t),}$

${\displaystyle {\ddot {x}}_{0}\ll {\ddot {x}}_{1}}$, поскольку ${\displaystyle x_{1}}$ мало, ${\displaystyle g(x_{0})\gg x_{1}g'(x_{0})}$, то

${\displaystyle {\ddot {x}}_{1}=g(x_{0})\cos(\omega t).}$

На масштабах времени осцилляции ${\displaystyle x_{1}}$ величина ${\displaystyle x_{0}}$ практически постоянна. Следовательно, последнее уравнение можно проинтегрировать:

${\displaystyle x_{1}=-{\frac {g(x_{0})}{\omega ^{2}}}\cos(\omega t).}$

При подстановке данного выражения в уравнение для силы и после усреднения по времени ${\displaystyle 2\pi /\omega }$ получаем

${\displaystyle {\ddot {x}}_{0}=-{\frac {g(x_{0})g'(x_{0})}{2\omega ^{2}}}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\ddot {x}}_{0}=-{\frac {1}{4\omega ^{2}}}\left.{\frac {d}{dx}}\left[g(x)^{2}\right]\right|_{x=x_{0}}.}$

Таким образом, мы получили выражение для дрейфового движения заряженной частицы под действием неоднородного осциллирующего поля.

Вместо одной частицы можно рассмотреть газ из заряженных частиц, испытывающий действие подобной силы. Такой газ из заряженных частиц называется плазмой. Функция распределения и плотность плазмы испытывают колебания, для получения точно решения требуется решить уравнение Власова. Обычно предполагается, что усреднённую по времени плотность плазмы можно получить из выражения для силы и для дрейфового движения отдельных частиц: [2]

${\displaystyle {\bar {n}}(x)=n_{0}\exp \left[-{\frac {e}{\kappa T}}\Phi _{\text{P}}(x)\right],}$

где ${\displaystyle \Phi _{\text{P}}}$ является пондеромоторным потенциалом, задаваемым выражением

${\displaystyle \Phi _{\text{P}}(x)={\frac {m}{4\omega ^{2}}}\left[g(x)\right]^{2}.}$

Помимо только осциллирующего поля может также присутствовать постоянное поле. В подобной ситуации уравнение для силы, действующей на заряженную частицу, имеет вид

${\displaystyle {\ddot {x}}=h(x)+g(x)\cos(\omega t).}$

Для решения такого уравнения можно сделать такое же предположение, как в случае с ${\displaystyle h(x)=0}$. Тогда обобщённое выражение для дрейфового движения имеет вид

${\displaystyle {\ddot {x}}_{0}=h(x_{0})-{\frac {g(x_{0})g'(x_{0})}{2\omega ^{2}}}.}$

Идея описания движения частиц под действием пондеромоторной силы в изменяющемся со временем поле имеет приложения в ряде областей, таких как ускорение частиц в плазме, квадрупольный ионный захват, создание плазменного ракетного двигателя.

• Schmidt, George. Physics of High Temperature Plasmas, second edition (англ.). — Academic Press, 1979. — P. 47. — ISBN 0-12-626660-3.
• Cary, J. R.; Kaufman, A. N. Ponderomotive effects in collisionless plasma: A Lie transform approach (англ.) // Phys. Fluids : journal. — 1981. — Vol. 24. — P. 1238. — doi:10.1063/1.863527.
• Grebogi, C.; Littlejohn, R. G. Relativistic ponderomotive Hamiltonian (англ.) // Phys. Fluids : journal. — 1984. — Vol. 27. — P. 1996. — doi:10.1063/1.864855.
• Morales, G. J.; Lee, Y. C. Ponderomotive-Force Effects in a Nonuniform Plasma (англ.) // Phys. Rev. Lett. : journal. — 1974. — Vol. 33. — P. 1016—1019. — doi:10.1103/physrevlett.33.1016.
• Lamb, B. M.; Morales, G. J. Ponderomotive effects in nonneutral plasmas (англ.) // Phys. Fluids : journal. — 1983. — Vol. 26. — P. 3488. — doi:10.1063/1.864132.
• Shah, K.; Ramachandran, H. Analytic, nonlinearly exact solutions for an rf confined plasma (англ.) // Phys. Plasmas : journal. — 2008. — Vol. 15. — P. 062303. — doi:10.1063/1.2926632. Архивировано 23 февраля 2013 года.
• Bucksbaum, P. H.; Freeman, R. R.; Bashkansky, M.; McIlrath, T. J. Role of the ponderomotive potential in above-threshold ionization (англ.) // Jour. Opt. Soc. B : journal. — 1987. — Vol. 4. — P. 760. — doi:10.1364/josab.4.000760.